[논문 리뷰] Holographic theory for continuous phase transitions -- the emergence and symmetry protection of gaplessness

Arkya Chatterjee, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 12.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 상전이, 비가속 임계점, 대칭 보호 비가속 상을 통합적으로 기술하기 위한 허모그래픽 프레임워크를 대칭/위상적 질서(Symm/TO) 상응성에 기반하여 제안한다. 고차원 위상적 질서에서의 응축 가능한 대수를 통해 금속 상태와 비가속 상태를 분류함으로써, 감소된 대칭 위상적 질서 M/A가 비자명할 경우 비가속성이 나타나며, 이는 비가속성의 대칭 보호 메커니즘을 제공한다. 이는 비가역적 대칭, 고차원 대칭, 비가역 대칭에 적용 가능한 임계성에 대한 일반적인 이론이다.

ABSTRACT

Two global symmetries are holo-equivalent if their algebras of local symmetric operators are isomorphic. Holo-equivalent classes of global symmetries are classified by gappable-boundary topological orders (TO) in one higher dimension (called symmetry TO), which leads to a symmetry/topological-order (Symm/TO) correspondence. We establish that: (1) For systems with a symmetry described by symmetry TO $M$, their gapped and gapless states are classified by condensable algebras $A$, formed by elementary excitations in $M$ with trivial self/mutual statistics. Such classified states (called $A$-states) can describe symmetry breaking orders, symmetry protected topological orders, symmetry enriched topological orders, gapless critical points, etc., in a unified way. (2) The local low-energy properties of an $A$-state can be calculated from its reduced symmetry TO $M_{/A}$, using holographic modular bootstrap (holoMB) which takes $M_{/A}$ as an input. Here $M_{/A}$ is obtained from $M$ by condensing excitations in $A$. Notably, an $A$-state must be gapless if $M_{/A}$ is nontrivial. This provides a unified understanding of the emergence and symmetry protection of gaplessness that applies to symmetries that are anomalous, higher-form, and/or non-invertible. (3) The relations between condensable algebras constrain the structure of the global phase diagram. (4) 1+1D bosonic systems with $S_3$ symmetry have four gapped phases with unbroken symmetries $S_3$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_2$, and $\mathbb{Z}_1$. We find a duality between two transitions $S_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_1$ and $\mathbb{Z}_3 \leftrightarrow \mathbb{Z}_2$: they are either both first order or both (stably) continuous, and in the latter case, they are described by the same conformal field theory (CFT).

연구 동기 및 목표

• 랜돌프 대칭 붕괴 이론을 초월하여 금속 및 비가속 양자 상을 분류하기 위한 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 체계의 위상적 질서와 경계 임계성 사이의 허모그래픽 dualities를 수립하는 것.
• 고차원 위상적 질서에서의 응축 가능한 대수를 통해 비가속성의 기원과 대칭 보호 원리를 설명하는 것.
• 혼합 이상성과 비가역 대칭을 가진 시스템에서의 연속적 상전이를 분석하는 것.
• S3 및 Z2×Z′2 대칭을 가진 1+1차원 시스템에서의 금속 및 비가속 상을 분류하는 것, 이는 이상적인 경우를 포함한다.

제안 방법

• 1차원 높은 차원에서의 금속 경계 위상적 질서를 통해 전역 대칭을 분류하기 위해 대칭/위상적 질서(Symm/TO) 상응성을 사용한다.
• 지역 대칭 연산자 대수의 동형사상에 의해 전역 대칭의 해석적 동치를 정의한다.
• 허모그래픽 모듈러 브루트포스(holoMB)를 적용하여 감소된 대칭 위상적 질서 M/A로부터 저에너지 성질을 계산한다.
• 응축 가능한 대수 A를 통해 금속 및 비가속 상태를 식별한다. 여기서 A는 통계가 자명한 anyon으로 구성된다.
• 응축 가능한 대수의 구조와 M 내에서의 관계를 분석하여 단계도를 구성한다.
• Z2×Z′2 및 S3 대칭을 가진 1+1차원 시스템에 이 프레임워크를 적용하며, 이상적 및 혼합 이상성 사례를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비부하 대칭 관계로 인해 랜돌프 이론이 실패할 경우, 연속적 상전이를 체계적으로 분류할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 위상적 질서는 임계 상에서 비가속성을 보호하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이상적, 고차원, 비가역 대칭은 비가속 임계성의 기원에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 통합 프레임워크는 대칭 붕괴, SPT, 위상적 질서 상을 하나의 수학적 형식으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 비가역 또는 이상적인 대칭을 가진 시스템에서 상전이가 1차 전이인지 연속 전이인지 결정하는 요소는 무엇인가?

주요 결과

• Z2×Z′2 대칭을 가진 1+1차원 시스템에서 혼합 이상성의 경우, Z2 붕괴 및 Z′2 붕괴 상 사이에 안정적인 연속 전이(비가속 양자 임계점)가 존재하며, 이는 Z4 대칭 붕괴 전이와 동일한 임계 이론으로 기술된다.
• 1+1차원 S3 대칭의 경우, 대칭이 유지된 상태인 S3, Z3, Z2, Z1의 네 가지 금속 상이 존재하며, S3↔Z1 및 Z3↔Z2 전이에서는 둘 다 1차 전이이거나 둘 다 연속 전이이다. 후자의 경우 동일한 conformal field theory(CFT)로 기술된다.
• 이상적인 S(1)3 및 S(2)3 대칭은 대칭에 의해 보호되는 안정적인 캐리얼 비가속 상을 지닌다. 이는 이상적인 시스템에서의 대칭 보호 비가속성을 보여준다.
• Z2×Z′2 혼합 이상성 전이의 임계점은 Z4 대칭 붕괴 임계점과 동치임을 입증하여, 일반적인 CFT 기술이 존재함을 시사한다.
• 감소된 대칭 위상적 질서 M/A가 비자명할 경우 A상은 반드시 비가속이어야 하며, 이는 대칭 보호 비가속성의 일반적 메커니즘을 제공한다.
• 이 방법은 이상적인 S3 시스템에서 금속 및 비가속 상을 성공적으로 분류하였으며, 연속 전이에 대한 이중성과 일반적인 CFT를 드러냈다.