[논문 리뷰] Homology of formal deformations of proper etale Lie groupoids

Nikolai Neumaier, Markus J. Pflaum외 2명|ArXiv.org|2004. 12. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적절한 에탈 리 군oids에 관련된 복합화 대수의 형식적 변형 양자화의 호크실드 및 순환 (코)호모로지 를 계산하며, 순환 코호모로지가 인ertia 군oids의 층 코호모로지를 통해 오비포ลด 코호모로지와 동형임을 보여준다. 변형된 대수에서의 추적들을 0차 오비포ลด 코호모로지 군과 형식적 멱급수 반복체 ℂ((ħ))의 텐서곱과 동형으로 분류하며, 페도소프, 숄체, 타르카노프의 추측이 모든 이소트로피 군이 아벨일 때에만 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, the cyclic homology theory of formal deformation quantizations of the convolution algebra associated to a proper etale Lie groupoid is studied. We compute the Hochschild cohomology of the convolution algebra and express it in terms of alternating multi-vector fields on the associated inertia groupoid. We introduce a noncommutative Poisson homology whose computation enables us to determine the Hochschild homology of formal deformations of the convolution algebra. Then it is shown that the cyclic (co)homology of such formal deformations can be described by an appropriate sheaf cohomology theory. This enables us to determine the corresponding cyclic homology groups in terms of orbifold cohomology of the underlying orbifold. Using the thus obtained description of cyclic cohomology of the deformed convolution algebra, we give a complete classification of all traces on this formal deformation, and provide an explicit construction.

연구 동기 및 목표

• 적절한 에탈 리 군oids에 대한 복합화 대수의 형식적 변형 양자화의 호크실드 및 순환 (코)호모로지 계산.
• semiclassic 극한에서의 호크실드 호모로지의 특성을 캡처하는 비가환 파울슨 호모로지의 도입 및 계산.
• 변형된 대수의 순환 코호모로지가 인ertia 군oids에서의 층 코호모로지를 통해 오비포ลด 코호모로지와 연결됨을 규명.
• 변형된 대수에서의 모든 추적의 완전한 분류 및 페도소프, 숄체, 타르카노프의 추적 공간의 구조에 대한 추측 검증.

제안 방법

• ħ-adic 필터레이션을 호크실드 복합체에 적용하여, E1-항이 비가환 파울슨 호모로지가 되는 스펙트럴 시퀀스를 정의.
• 텔레만의 국소화 기법을 적용하여 호크실드 코호모로지와 인ertia 군oids에서의 다중벡터장의 층 코호모로지 사이의 관계를 규명.
• 브릴린스키의 파울슨 호모로지의 일반화로서, 인ertia 군oids에서의 복합체의 층 호모로지로 계산되는 비가환 파울슨 호모로지의 도입.
• 콘스, 버흐레라, 브릴린스키, 니스터, 크라인의 국소화 기법을 활용하여 양자화된 대수의 호크실드 및 순환 호모로지를 계산.
• 기저 공간에서 복소화된 표현 군집 층의 계수를 갖는 층 코호모로지로서 오비포ลด 코호모로지와 변형된 대수의 순환 코호모로지 사이의 동형을 확립.
• 모리타 동치를 통해 감소된 경우에 전체 변형된 크로스곱 대수와 불변 부분대수 간의 관계를 유지하며, 호모로지 불변량을 보존.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 에탈 리 군oids의 복합화 대수의 호크실드 코호모로지는 인ertia 군oids에서의 기하학적 자료로 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 변형된 대수의 비가환 파울슨 호모로지의 구조는 무엇이며, 호크실드 호모로지의 반고전적 극한과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 형식적 변형 양자화의 순환 (코)호모로지는 오비포ลด 코호모로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 변형된 군oids 대수에서의 추적의 완전한 분류는 무엇이며, 이는 이소트로피 군의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 페도소프, 숄체, 타르카노프의 추적에 대한 피카르 군 작용에 대한 추측이 참이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 복합화 대수의 호크실드 코호모로지는 인ertia 군oids에서의 교환 다중벡터장의 층 코호모로지와 동형이다.
• 변형된 대수의 비가환 파울슨 호모로지는 인ertia 군oids에서의 복합체의 층 호모로지로 계산되며, 이는 ħ-adic 필터레이션과 관련된 스펙트럴 시퀀스의 E1-항으로 나타난다.
• 형식적 변형 양자화의 순환 코호모로지는 기저 공간에서 복소화된 표현 군집 층의 계수를 갖는 층 코호모로지로서 표현된 오비포ลด 코호모로지와 동형이다.
• 변형된 대수에서의 추적 공간은 H⁰_orb(X, ℂ)⊗ℂ((ħ))와 동형이며, 레라 시퀀스를 통해 H⁰(X, ℝℂ)와 동형이다.
• 페도소프, 숄체, 타르카노프의 추측은 모든 이소트로피 군이 아벨일 때에만 성립하며, 이 경우에만 기저의 불변 표현이 일치하는 1차원이 되어 피카르 군의 상이 추적 공간의 기저를 이룬다.
• 감소된 경우에 전체 변형된 크로스곱 대수와 불변 부분대수 사이에 모리타 동치가 존재하며, 이는 순환 코호모로지와 추적 구조를 보존한다.