[논문 리뷰] Identities on the k-ary Lyndon words related to a family of zeta functions

İrem Küçükoğlu, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소수 길이를 가진 k-진 린든 단어의 생성함수와 특수 제타 유형 함수, 아포스톨-베르누이 수, 프로베누스-유클리드 수 사이의 명시적 연결을 수립한다. 모비우스 역전개와 생성함수 항등식을 통해 아포스톨-베르누이 수를 포함하는 닫힌 형식의 생성함수를 유도하고, 허위츠-레히 제타 함수와 오일러 수와의 연결을 통해 특수 수열의 새로운 조합적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate and introduce relations between the numbers of k-ary Lyndon words and unified zeta-type functions which was defined by Ozden et al [15, p. 2785]. Finally, we give some identities on generating functions for the numbers of k-ary Lyndon words and some special numbers and polynomials such as the Apostol-Bernoulli numbers and polynomials, Frobenius-Euler numbers, Euler numbers and Bernoulli numbers.

연구 동기 및 목표

• 오즈덴 등이 도입한 통합 제타 유형 함수와 k-진 린든 단어의 수 사이의 관계를 탐색하고 체계화하기.
• 특수 수열을 사용하여 소수 길이를 가진 k-진 린든 단어의 수를 위한 생성함수 유도하기.
• 린든 단어의 조합적 수세기와 아포스톨-베르누이, 프로베누스-유클리드, 오일러 수 등의 특수 함수를 통합하기.
• 모비우스 역전개를 통해 이러한 생성함수와 허위츠-레히 제타 함수 및 산술 함수 사이의 항등식 수립하기.

제안 방법

• p=2일 때 생성함수 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{1}{p} \frac{t^2}{(1-t)^3} $를 유도하여 기존 결과와 일치함.
• Lyndon 단어 수와 거듭제곱 합 사이의 연결을 위해 항등식 $ k^n = \bigsum_{d|n} d L_k(d) $에 모비우스 역전개를 적용함.
• 아포스톨-베르누이 수의 생성함수 $ \frac{t}{ze^t - 1} $를 사용하여 $ f_{L_y}(t,p) $를 $ \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $로 표현함. 여기서 $ \beta_n(t) $는 아포스톨-베르누이 수이다.
• 항등식 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $를 통해 $ f_{L_y}(t,p) $와 프로베누스-유클리드 수 $ H_n(z) $ 사이의 연결을 수립함.
• 항등식 $ \beta_n(z) = \frac{n}{z^{-1}} H_{n-1}(1/z) $를 적용하여 특수 함수와 조합론 사이의 연결을 맺음.
• 항등식 $ \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} = \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) $를 적용하여 거듭제곱 합과 린든 단어 수 사이의 연결을 수립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 길이를 가진 k-진 린든 단어의 생성함수는 아포스톨-베르누이 수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 생성함수 $ f_{L_y}(t,p) $와 허위츠-레히 제타 함수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 프로베누스-유클리드 수와 오일러 수는 린든 단어 수세기 맥락에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 모비우스 역전개를 사용하여 린든 단어 수와 베르누이 다항식, 거듭제곱 합 사이의 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 소수 $ p=2 $ 및 $ p=3 $와 같은 작은 소수에 대해 생성함수 $ f_{L_y}(t,p) $의 명시적 형태는 무엇이며, 이는 기존 결과와 어떻게 일치하는가?

주요 결과

• 소수 길이 $ p $를 가진 k-진 린든 단어의 생성함수는 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{\beta_2(t)}{2p} - \frac{\beta_{p+1}(t)}{p(p+1)} $로 주어지며, 여기서 $ \beta_n(t) $는 아포스톨-베르누이 수이다.
• p=2일 때 생성함수는 $ f_{L_y}(t,2) = \frac{t^2}{(1-t)^3} $로 단순화되며, 이는 이전 문헌에서 알려진 결과와 일치함.
• p=3일 때 생성함수는 $ f_{L_y}(t,3) = \frac{2t^2}{(t-1)^4} $로 평가되며, 일반 공식과 일치함.
• 생성함수는 또한 $ f_{L_y}(t,p) = \frac{t}{p} \big( H_1(1/t) - H_p(1/t) \big) $로 표현되며, 여기서 $ H_n(z) $는 프로베누스-유클리드 수이다.
• 프로베누스-유클리드 항등식에 $ z = -1 $을 대입하면 $ f_{L_y}(-1,p) = \frac{E_p - E_1}{p} $를 얻으며, 여기서 $ E_n $은 오일러 수이다.
• 항등식 $ \bigsum_{d|n} d \bigsum_{k=0}^m L_k(d) = \frac{B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}}{n+1} $는 린든 단어 수를 베르누이 다항식과 거듭제곱 합과 연결한다.