[논문 리뷰] Increasing the quantum UNSAT penalty of the circuit-to-Hamiltonian construction

Johannes Bausch, Elizabeth Crosson|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소 항의 수나 연산자 노름을 증가시키지 않고, 수정된 파울리-키타예프 해밀토니안에 비균일한 역사 상태를 도입하여 회로-해밀토니안 구성에서 양자 UNSAT 페널티를 Ω((1−√ε)T⁻³)에서 Ω((1−√ε)T⁻²)로 향상시켰다. 개선된 성능은 삼중대각 클록 해밀토니안 프레임워크 내에서 최적임이 입증되었으며, 스펙트럼 갭과 끝점과의 기저 상태 겹침의 곱에 대한 날것 있는 O(T⁻²) 상한이 도출되었다.

ABSTRACT

The Feynman-Kitaev Hamiltonian used in the proof of QMA-completeness of the local Hamiltonian problem has a ground state energy which scales as $\Omega((1-\sqrt{\epsilon}) T^{-3})$ when it is applied to a circuit of size $T$ and maximum acceptance probability $\epsilon$. We refer to this quantity as the quantum UNSAT penalty, and using a modified form of the Feynman Hamiltonian with a non-uniform history state as its ground state we improve its scaling to $\Omega((1-\sqrt{\epsilon})T^{-2})$, without increasing the number of local terms or their operator norms. As part of the proof we show how to construct a circuit Hamiltonian for any desired probability distribution on the time steps of the quantum circuit (which, for example, can be used to increase the probability of measuring a history state in the final step of the computation). Next we show a tight $\mathcal{O}(T^{-2})$ upper bound on the product of the spectral gap and ground state overlap with the endpoints of the computation for any clock Hamiltonian that is tridiagonal in the time register basis, which shows that the scaling of the quantum UNSAT penalty achieved by our construction cannot be further improved within this framework. Our proof of the upper bound applies a quantum-to-classical mapping for arbitrary tridiagonal Hermitian matrices combined with a sharp bound on the spectral gap of birth-and-death Markov chains. In the context of universal adiabatic computation we show how to reduce the number of qubits required to represent the clock by a constant factor over the standard construction, but show that it is otherwise already optimal in the sense we consider and cannot be further improved with tridiagonal clock Hamiltonians, which agrees with a similar upper bound from a previous study.

연구 동기 및 목표

• QMA-완전성 증명을 위한 회로-해밀토니안 구성에서의 양자 UNSAT 페널티를 향상시키기 위해.
• 회로 복잡도나 연산자 노름을 증가시키지 않고 파울리-키타예프 해밀토니안의 기저 상태 에너지 스케일링을 감소시키기 위해.
• 삼중대각 클록 해밀토니안에 대해 스펙트럼 갭과 시간 레지스터 끝점과의 기저 상태 겹침의 곱에 대한 날것 있는 상한을 설정하기 위해.
• 클록 레지스터 크기를 최소화하여 보편적인 애디아바틱 양자 계산에서 큐비트 사용을 최적화하기 위해.

제안 방법

• 비균일한 역사 상태를 사용하여 수정된 파울리-키타예프 해밀토니안을 구성하여 양자 UNSAT 페널티 스케일링을 향상시키기 위해.
• 양자 계산의 각 시간 단계에서 원하는 확률 분포를 실현하는 회로 해밀토니안을 설계하기 위해.
• 삼중대각 에르미트 행렬에 대해 양자-고전적 매핑을 적용하여 클록 해밀토니안의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해.
• 출생-죽음 마코프 체인의 스펙트럼 갭에 대한 날카로운 경계를 유도하여 스펙트럼 갭과 기저 상태 겹침의 곱에 대한 상한을 확립하기 위해.
• 개선된 T⁻² 스케일링이 삼중대각 클록 해밀토니안 프레임워크 내에서 최적임을 증명하기 위해.
• 기존 표준 구성 대비 상수 요인만큼 클록 레지스터를 표현하는 데 필요한 큐비트 수를 감소시킴을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 회로-해밀토니안 구성에서의 양자 UNSAT 페널티를 Ω((1−√ε)T⁻³)을 초월하여 향상시킬 수 있는가? 이때 회로 복잡도나 연산자 노름을 증가시키지 않고서도 가능할까?
• RQ2 삼중대각 클록 해밀토니안에 대해 T⁻² 스케일링의 양자 UNSAT 페널티가 최적일 수 있는가?
• RQ3 비균일한 역사 상태를 사용하여 파울리-키타예프 구성에서 더 나은 기저 상태 에너지 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ4 삼중대각 클록 해밀토니안에 대해 스펙트럼 갭과 시간 레지스터 끝점과의 기저 상태 겹침의 곱에 대한 가장 날카로운 가능한 상한은 무엇인가?
• RQ5 이 개선된 구성으로 보편적인 애디아바틱 양자 계산에서 큐비트 수를 상수 요인만큼 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 비균일한 역사 상태를 사용한 수정된 파울리-키타예프 해밀토니안을 통해 양자 UNSAT 페널티가 Ω((1−√ε)T⁻³)에서 Ω((1−√ε)T⁻²)로 향상되었다.
• 개선된 T⁻² 스케일링이 최적임이 입증되었으며, 스펙트럼 갭과 끝점과의 기저 상태 겹침의 곱에 대한 날것 있는 O(T⁻²) 상한이 확립되었다.
• 이 상한은 모든 삼중대각 클록 해밀토니안에 적용 가능하며, 양자-고전적 매핑과 출생-죽음 마코프 체인의 스펙트럼 갭에 대한 날카로운 경계를 통해 유도되었다.
• 시간 단계별 확률 분포를 임의로 설정할 수 있는 회로 해밀토니안을 구성하여 역사 상태에서 측정 결과를 제어할 수 있도록 하였다.
• 표준 구성 대비 클록 레지스터를 표현하는 데 필요한 큐비트 수가 상수 요인만큼 감소되었다.
• 결과적으로 이 개선된 구성이 삼중대각 프레임워크 내에서 최적임이 확인되었으며, 독립된 연구에서 이전에 유도된 상한과 일치함을 확인하였다.