[논문 리뷰] Instability of spherical naked singularities of a scalar field under isotropic gravitational perturbations

Junbin Li, Jue Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 06.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비구형 중력파란 붕괴에 의한 구형 대칭 낙법성 특이점의 불안정성을 아인슈타인-스칼라 장 체계에서 조사한다. 하나의 구형 대칭 영향선과 일반적인(비대칭) 외향 영향선을 가진 특성 초기값 문제를 사용하여, 특이점 근처에 닫힌 포획 표면이 형성되지 않는 초기 자료의 집합이 첫 번째 범주임을 증명함으로써, 낙법성 특이점이 일반적인 비구형 대칭 편향에 대해 불안정하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we initiate the study of the instability of naked singularities without symmetries. In a series of papers, Christodoulou proved that naked singularities are not stable in the context of the spherically symmetric Einstein equations coupled with a massless scalar field. We study in this paper the next simplest case: a characteristic initial value problem of this coupled system with the initial data given on two intersecting null cones, the incoming one of which is assumed to be spherically symmetric and singular at its vertex, and the outgoing one of which has no symmetries. It is shown that, arbitrarily fixing the initial scalar field, the set of the initial conformal metrics on the outgoing null cone such that the maximal future development does not have any sequences of closed trapped surfaces approaching the singularity, is of first category in the whole space in which the shear tensors are continuous. Such a set can then be viewed as exceptional, although the exceptionality is weaker than the at least $1$ co-dimensionality in spherical symmetry. Almost equivalently, it is also proved that, arbitrarily fixing an incoming null cone $\underline{C}_\varepsilon$ to the future of the initial incoming null cone, the set of the initial conformal metrics such that the maximal future development has at least one closed trapped surface before $\underline{C}_\varepsilon$, contains an open and dense subset of the whole space. Since the initial scalar field can be chosen such that the singularity is naked if the initial shear is set to be zero, we may say that the spherical naked singularities of a self-gravitating scalar field are not stable under gravitational perturbations. This in particular gives new families of non-spherically symmetric gravitational perturbations different from the original spherically symmetric scalar perturbations given by Christodoulou.

연구 동기 및 목표

• 아인슈타인-스칼라 장 체계에서 구형 대칭 낙법성 특이점의 안정성을 구형 대칭을 초월하여 조사하기.
• 이러한 특이점이 일반적인 비구형 대칭 중력파란 붕괴에 의해 지속되는지 여부를 규명하기.
• 하나의 특이한 구형 대칭 영향선과 하나의 일반 외향 영향선을 가진 초기 자료의 최대 향후 발전의 구조를 분석하기.
• 특이점 근처에 닫힌 포획 표면이 형성되지 않는 초기 자료의 퍼센트를 정량화하여 안정성 여부를 판단하기.
• 크리스톿울루의 구형 불안정성 결과를 비대칭 편향으로 확장하여, 더 넓은 범위의 초기 자료에서의 불안정성 입증하기.

제안 방법

• 입력 자료로 두 개의 교차하는 영향선(하나는 들어오는, 구형 대칭이며 정점에서 특이함; 하나는 외향하는, 대칭이 없음)을 가진 특성 초기값 문제를 수립함.
• 초기 스칼라 장을 고정하고, 외향 영향선에서 연속된 비틀림 텐서를 가진 초기 공형 메트릭의 공간을 연구함.
• 베어 범주 정리(Baire category theorem)를 적용하여, 특이점에 가까이 닫힌 포획 표면의 수열이 형성되지 않는 초기 자료의 집합이 첫 번째 범주임을 증명함.
• 반대편 집합—특정 미래 영향선 이전에 적어도 하나의 닫힌 포획 표면을 형성하는 초기 자료—가 열려 있고 조밀함을 증명함.
• 더블-영향선 분할에서 아인슈타인-스칼라 장 방정식의 구조를 활용하여 포획 표면 형성과 특이점 행동을 분석함.
• 결과를 크리스톿울루의 구형 사례와 비교하여, 비대칭 편향이 낙법성 특이점을 불안정하게 한다는 것을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기중력 스칼라 장의 구형 대칭 낙법성 특이점은 비구형 대칭 중력파란 붕괴에 대해 불안정한가?
• RQ2 비대칭 케이스에서 특이점 근처에 닫힌 포획 표면이 형성되지 않는 초기 자료의 측도론적 퍼센트는 얼마인가?
• RQ3 일반적인 편향 하에서, 구형 대칭 케이스의 낙법성 특이점 안정성은 비대칭 케이스와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 일반적인 초기 자료 클래스에서 특정 미래 영향선 이전에 닫힌 포획 표면의 형성이 보장될 수 있는가?
• RQ5 비대칭 영역에서 초기 자료 집합의 안정성을 특성화하는 데 있어 비틀림 텐서의 연속성은 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 외향 영향선에서 특이점에 가까이 닫힌 포획 표면의 수열이 형성되지 않도록 하는 초기 공형 메트릭의 집합은 연속된 비틀림 텐서 공간에서 첫 번째 범주이다.
• 이는 이러한 안정된 구성이 예외적이며, 구형 대칭 케이스에서와 마찬가지로 여전히 코디멘션 최소 1 이상이 되어야 한다는 조건이 필요로 하지 않다는 것을 의미한다.
• 반대편 집합—특정 미래 영향선 이전에 적어도 하나의 닫힌 포획 표면을 형성하는 초기 자료—는 열려 있고 조밀하다.
• 따라서 일반적인 초기 자료(위상적 의미에서)의 경우, 주어진 미래 영향선 이전에 닫힌 포획 표면이 형성되며, 이는 낙법성 특이점의 불안정성을 시사한다.
• 초기 스칼라 장이 구형 대칭 극한에서 낙법성 특이점을 생성하도록 고정되어 있어도 불안정성 결과는 그대로 유지된다.
• 논문은 크리스톿울루의 결과를 비구형 대칭 중력파란 붕괴의 새로운 클래스로 확장하여, 비대칭성을 초월한 불안정성 결과를 확립한다.