[논문 리뷰] Instanton moduli spaces and $\mathscr W$-algebras

Alexander Braverman, Michael Finkelberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 35인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 프레임드 우르렌벡 인스탄톤 모듈리 공간의 등변 교차 코hom올로지와 $\mathscr{W}$-대수의 표현 이론 사이에 깊은 대응을 수립한다. 초평면 제약 함수와 안정한 막대를 이용하여 저자들은 $\mathscr{W}$-대수 작용의 기하적 실현을 구축하며, 코hom올로지 상의 파이카르 쌍대성과 카크-샤파로프 형식을 $\mathscr{W}$-모듈 내의 대수적 구조와 동일시한다. 특히 위트너 벡터와 하이젠베르크 대수를 통해 이를 구현한다.

ABSTRACT

We describe the (equivariant) intersection cohomology of certain moduli spaces ("framed Uhlenbeck spaces") together with some structures on them (such as e.g.\ the Poincaré pairing) in terms of representation theory of some vertex operator algebras ("$\mathscr W$-algebras").

연구 동기 및 목표

• 틀린 우르렌벡 공간의 등변 교차 코hom올로지로부터 $\mathscr{W}$-대수의 표현 이론을 기하학적으로 실현하기 위해.
• 코hom올로지 상의 대수적 구조, 예를 들어 파이카르 쌍대성과 카크-샤파로프 형식을 $\mathscr{W}$-모듈 내의 대응 구조와 동일시하기 위해.
• 모듈리 공간 상의 초평면 제약 함수와 $\mathscr{W}$-대수 내의 대수적 연산 사이의 대응을 수립하기 위해.
• sheaf 이론적 및 코hom올로지적 도구를 이용해 위트너 벡터와 $\mathscr{W}$-대수 작용의 기하적 구성 제공하기 위해.
• 안정한 막대와 $\mathscr{W}$-대수의 적분형을 통해 AGT 대응을 기하적 프레임워크로 확장하기 위해.

제안 방법

• 틀린 $G$-_bundle의 모듈리 공간 상에서 초평면 제약 함수를 이용하여, 우르렌벡 공간 상의 펄서브 셰이브와 리 대수의 리 부분군 상의 펄서브 셰이브 사이의 관계를 설정한다.
• 안정한 막대를 이용해 등변 코hom올로지의 기저를 구성하고, 이를 $\mathscr{W}$-모듈 내의 위트너 벡터와 연결한다.
• $\mathscr{W}$-대수의 브라우트-슈바르츠 복합체와 스크리닝 연산자를 통한 구성 방식을 사용하며, $\mathbf{A}$ 상에서 정의된 적분형을 포함한다.
• 카르탕 부분대수에 의해 유도되는 코hom올로지 상의 하이젠베르크 대수 작용을 사용하며, 생성자는 타우토로지컬 번들과 연결된다.
• 쌍대 기저를 통한 코hom올로지 공간 상의 쌍대성 구조를 구성하고, 기하학적 및 표현 이론적 방법을 통해 파이카르 쌍대성과의 호환성을 증명한다.
• $R$-행렬 체계와 양-베이저 방정식을 적용하여 $\mathscr{W}$-대수 작용 내의 교환 관계를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 틀린 우르렌벡 공간의 등변 교차 코호몰로지가 어떻게 $\mathscr{W}$-대수의 표현으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 인스탄톤 모듈리 공간의 맥락에서 파이카르 쌍대성과 카크-샤파로프 형식의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 모듈리 공간 상의 초평면 제약 함수는 $\mathscr{W}$-대수 내의 대수적 연산과 어떻게 대응되는가?
• RQ4 안정한 막대와 위트너 벡터는 어떻게 코호몰로지 상의 $\mathscr{W}$-대수 작용을 구성하는 데 기여하는가?
• RQ5 브라우트-슈바르츠 복합체와 $\mathbf{A}$-형식을 통해 $\mathscr{W}$-대수의 적분형은 어떻게 기하학적으로 실현되는가?

주요 결과

• 틀린 우르렌벡 공간의 등변 교차 코호몰로지는 안정한 막대와 초평면 제약를 통해 자연스럽게 $\mathscr{W}$-대수 작용을 지닌다.
• 코호몰로지 상의 파이카르 쌍대성은 위트너 벡터를 통해 $\mathscr{W}$-모듈 내의 카크-샤파로프 형식과 동형이다.
• 코호몰로지 상의 하이젠베르크 대수 작용은 타우토로지컬 번들의 첫 번째 체르니클 클래스로부터 유도되며, $\mathscr{W}$-대수 구성 내의 하이젠베르크 대수와 대응된다.
• $\mathscr{W}$-대수는 $\mathbf{A}$ 상에서 정의된 정수 구조를 가진 브라우트-슈바르츠 복합체를 통해 하이젠베르크 대수의 부분대수로 실현된다.
• 안정한 막대 구성은 코호몰로지에 대한 기하적 기저를 제공하며, 이는 $\mathscr{W}$-모듈 내의 표준 기저와 일치하고, 쌍대성과 호환된다.
• $\mathscr{W}_{\mathbf{A}}({\mathfrak{g}}) \to \mathscr{W}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{l})$의 임bedding은 BRST 복합체의 이중복합체 구조를 통해 기하학적으로 구성되며, 하이젠베르크 대수에의 포함관계와 호환된다.