[논문 리뷰] Interleaving and Gromov-Hausdorff distance

Peter Bubenik, Vin de Silva외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 25인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 공통의 공역을 가진 함자에 대한 확장 문제의 해로서 간섭 거리(interleaving distance)를 모델링하는 범주론적 프레임워크를 제안하며, 하우스도르프 거리와 그로모프-하우스도르프 거리의 일반화를 포함한다. 주요 기여는 기존의 간섭 거리 이론을 일반화한 통합 이론으로, 일반화된 영속 모듈러스에까지 확장되어 동역학계와 메트릭 공간(라보레 메트릭 공간 통한)에 적용 가능하다.

ABSTRACT

One of the central notions to emerge from the study of persistent homology is that of interleaving distance. It has found recent applications in symplectic and contact geometry, sheaf theory, computational geometry, and phylogenetics. Here we present a general study of this topic. We define interleaving of functors with common codomain as solutions to an extension problem. In order to define interleaving distance in this setting we are led to categorical generalizations of Hausdorff distance, Gromov-Hausdorff distance, and the space of metric spaces. We obtain comparisons with previous notions of interleaving via the study of future equivalences. As an application we recover a definition of shift equivalences of discrete dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 기존 영속 모듈러스를 초월하여 공통의 공역을 가진 함자에 대해 일반적인 범주론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 함자적 확장의 관점에서 하우스도르프 거리와 그로모프-하우스도르프 거리의 개념을 통합하고 일반화하기 위해.
• 심플렉틱 기하학, 층 이론, 동역학계 등 다양한 수학 분야에 적용 가능한 간섭 거리의 범주론적 기초를 마련하기 위해.
• 제안된 간섭 프레임워크의 특수한 경우로서 이산 동역학계에서의 시프트 동치를 복원하기 위해.

제안 방법

• 공통의 공역을 가진 함자 간의 간섭을 범주론적 확장 문제의 해로 정의하기.
• 고전적 간섭 거리의 일반화로서 범주론적 구성에 기반한 일반화된 간섭 거리 도입하기.
• 라보레 메트릭 공간을 사용해 메트릭 구조를 모델링하고, 수반 함자들을 통한 가중 카테고리와의 관계 설정하기.
• 가중 집합의 카테고리 $\mathbf{wSet}$ 와 라보레 메트릭 공간의 카테고리 $\mathbf{Lawv}$ 사이의 모나드 수반 관계 수립하기.
• 편의성 가족 간의 간섭 거리를 하우스도르프 거리로 재해석하기 위해 프레임워크 적용하기.
• 메트릭 공간과 그 함자들 맥락에서 그로모프-하우스도르프 유형 거리의 이론을 일반화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간섭 거리는 기존 영속 모듈러스를 초월해 공통의 공역을 가진 함자로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 간섭의 개념을 뒷받침하는 범주론적 구조는 무엇이며, 이를 확장 문제의 해로 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ3 하우스도르프 거리와 그로모프-하우스도르프 거리가 통합된 간섭 거리 구성의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 이산 동역학계에서의 시프트 동치 개념을 어떻게 복원하는가?
• RQ5 라보레 메트릭 공간은 메트릭과 영속성 이론적 구조를 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정의 $F_A(a) = A^a$ 및 $F_B(a) = B^a$에 따라 정의된 두 편의 가족 $F_A$와 $F_B$ 사이의 간섭 거리는 고전적 하우스도르프 거리 $d_H(A,B)$ 와 일치하며, 직접적인 범주론적 동치를 확립한다.
• 간섭 거리의 구성은 $([0,\infty), \leq)$의 부분순서 집합으로 인덱싱된 함자로 일반화되었으며, $\Omega_r(a) = a + r$로 주어지는 이동은 초선형 가족을 이룬다.
• 가중 집합의 카테고리 $\mathbf{wSet}$ 와 라보레 메트릭 공간의 카테고리 $\mathbf{Lawv}$ 사이에 모나드 수반 관계가 수립되었으며, 오른쪽 수반 $\kappa$는 $a \in [0,\infty]$ 를 가중치 $a$를 가진 한점 공간으로 보낸다. 왼쪽 수반 $i_*$는 경로를 따라 가중치의 하한을 취해 거리를 할당한다.
• 가중 카테고리 $\mathbf{wCat}$ 에서의 간섭 거리는 객체들 사이에 라보레 메트릭을 유도하며, 정의 $d(X,Y) = \inf_{\gamma \in \mathbf{C}(X,Y)} w_C(\gamma)$ 로 주어지며, 경로 길이 메트릭을 일반화한다.
• 제안된 범주론적 구성 하에서 이산 동역학계에서의 시프트 동치가 간섭의 특수한 경우로 복원된다.
• 층, 코층, 플로어 이론적 구성 등과 같은 일반화된 영속 모듈러스에 이론을 확장하였으며, 이들의 간섭 거리는 제안된 일반 프레임워크의 특수한 경우로 해석된다.