[논문 리뷰] Internal Language of Finitely Complete $(\infty, 1)$-categories

Chris Kapulkin, Karol Szumiło|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조일의 트라이브스와 피브레이션 범주 간의 호모토피 이론적 동치성을 확립하며, 트라이브스가 피브레이션 범주와 동치인 호모토피적 프레임워크를 제공함을 보여준다. 그 결과, 므르틴뢰프 유형 이론이 의존 합과 통일성 정체성 유형을 갖는 $(\infty, 1)$-범주에서의 내부 언어로서의 역할을 하는 가설의 변종을 지지한다.

ABSTRACT

We prove that the homotopy theory of Joyal's tribes is equivalent to that of fibration categories. As a consequence, we deduce a variant of the conjecture asserting that Martin-Lof Type Theory with dependent sums and intensional identity types is the internal language of $(\infty, 1)$-categories with finite limits.

연구 동기 및 목표

• 조일의 트라이브스와 피브레이션 범주 간의 호모토피 이론적 동치성을 확립하기 위해.
• 고차 범주론에서 므르틴뢰프 유형 이론을 해석하기 위한 기초 프레임워크를 제공하기 위해.
• 유한한 극한을 갖는 $(\infty, 1)$-범주와의 연결을 고려한 유형 이론과의 연관성에 기반한 가설의 변종을 검증하기 위해.
• 트라이브스가 양호한 호모토피적 구조를 갖는 $(\infty, 1)$-범주를 모델링하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하기 위해.
• 유형 이론적 구성과 고차 범주론적 의미론 사이의 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 조일의 트라이브스 이론을 $(\infty, 1)$-범주에 대한 호모토피적 프레임워크로 활용하기 위해.
• 호모토피적 올림 성질을 통해 트라이브스가 피브레이션 범주의 공리계를 만족함을 증명하기 위해.
• 트라이브스와 피브레이션 범주 간의 모델 구조에 대한 쿼일렌 동치를 수립하기 위해.
• 고차 범주론의 결과를 적용하여 유형 이론적 구성과 범주론적 극한 간의 관계를 규명하기 위해.
• 피브레이션 범주의 내부 논리를 사용하여 의존 합과 정체성 유형을 해석하기 위해.
• 동치를 활용하여 트라이브스와 피브레이션 범주 간의 성질을 상호 전달하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조일의 트라이브스와 피브레이션 범주 간에 호모토피 이론적 동치가 존재하는가?
• RQ2 트라이브스가 의존 합과 통일성 정체성 유형을 갖는 유형 이론과 호환되는 방식으로 유한한 극한을 갖는 $(\infty, 1)$-범주를 모델링할 수 있는가?
• RQ3 트라이브스와 피브레이션 범주 간의 동치가 유형 이론의 내부 언어 가설을 지지하는가?
• RQ4 이 동치를 통해 의존 합과 통일성 정체성 유형은 $(\infty, 1)$-범주 맥락에서 어떻게 유도되는가?
• RQ5 피브레이션 범주는 므르틴뢰프 유형 이론을 고차 범주론의 내부 언어로 실현하기 위해 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 조일의 트라이브스의 호모토피 이론은 피브레이션 범주의 것과 쿼일렌 동치이다.
• 이 동치는 트라이브스가 호모토피적 구조와 호환되는 방식으로 유한한 극한을 갖는 $(\infty, 1)$-범주를 모델링함을 시사한다.
• 피브레이션 범주의 내부 논리는 의존 합과 통일성 정체성 유형을 지원한다.
• 이 동치는 고차 범주론에서 므르틴뢰프 유형 이론을 해석하기 위한 새로운 기초를 제공한다.
• 결과적으로, 유형 이론이 유한한 극한을 갖는 $(\infty, 1)$-범주에서의 내부 언어임을 지지하는 가설의 변종을 검증한다.
• 이 프레임워크는 트라이브스가 유형 이론의 고차 범주론적 의미론에 적합한 모델임을 확립한다.