[논문 리뷰] Intrinsic mirror symmetry and categorical crepant resolutions

Daniel Pomerleano|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 58인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 로그 칼라비-ยอ우 다양체에서 심플렉틱 cohomology와 플로어 cohomology의 유한성 성질을 확립한다. 특히, degree-zero 심플렉틱 cohomology $SH^0(X)$가 유한 생성임을 증명하고, 이는 조합론적으로 정의된 스탠리-라이스너 링의 필터링된 변형으로서 작용한다. 또한, 람부르지언 브레인에 대한 워프드 플로어 군이 $SH^0(X)$ 위의 유한 생성 모듈러스임을 보이며, 미러 대칭에서 예상되는 대수적 유한성 조건에 대응하는 심플렉틱 대응을 제공한다. $X$가 최대로 붕괴되고 호모로지적 섹션을 갖는 경우, $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$에 대한 카테고리적 크레펜트 해소가 가능하다.

ABSTRACT

The main result of the present paper concerns finiteness properties of Floer theoretic invariants on affine log Calabi-Yau varieties $X$. Namely, we show that: (a) the degree zero symplectic cohomology $SH^0(X)$ is finitely generated and is a filtered deformation of a certain algebra defined combinatorially in terms of a compactifying divisor $\mathbf{D}.$ (b) For any Lagrangian branes $L_0, L_1$, the wrapped Floer groups $WF^*(L_0,L_1)$ are finitely generated modules over $SH^0(X).$ We then describe applications of this result to mirror symmetry, the first of which is an ``automatic generation" criterion for the wrapped Fukaya category $\mathcal{W}(X)$. We also show that, in the case where $X$ is maximally degenerate and admits a ``homological section", $\mathcal{W}(X)$ gives a categorical crepant resolution of the potentially singular variety $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$. This provides a link between the intrinsic mirror symmetry program of Gross and Siebert and the categorical birational geometry program initiated by Bondal-Orlov and Kuznetsov.

연구 동기 및 목표

• 아핀 로그 칼라비-요우 다양체에서 플로어 이론적 불변량의 유한성 성질을 확립하는 것, 특히 $SH^0(X)$와 $WF^*(L_0,L_1)$를 중심으로 하여.
• 심플렉틱 불변량 $X$에서의 성질을 미러 대칭 대응에서 예상되는 대수적 유한성 조건과 연결하는 것.
• 최대 붕괴 및 호모로지적 섹션 조건 하에서, 워프드 푸카야 카테고리 $\mathcal{W}(X)$가 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$에 대한 카테고리적 크레펜트 해소가 될 수 있음을 보여주는 것.
• 그로스-시베르트의 내재적 미러 대칭 프로그램과 본달-오로프, 쿠즈네츠프의 카테고리적 비라시오널 기하학 프로그램을 연결하는 것.

제안 방법

• 정확하고 볼록한 심플렉틱 다양체에 대해 해밀토니안 플로어 코호몰로지 불변량으로서의 심플렉틱 코호몰로지 $SH^*(X)$를 사용하며, 이는 쌍의 팬 제품을 통해 단위원을 갖는 링이 된다.
• 아핀 다양체 $X$의 람부르지언 브레인 $L_0, L_1$에 대해, 워프드 플로어 코호몰로지 $WF^*(L_0,L_1)$를 $SH^*(X)$ 위의 모듈러스로 적용하는 것.
• compactifying divisor $\mathbf{D}$의 스트라타에 대한 직접 합을 통해 조합론적 대수 $\mathcal{A}_\mathbf{k}$를 구성하며, 이는 교차 맵을 통한 곱 구조를 갖는다.
• 스탠리-라이스너 링이 분할된 링으로서의 조합론적 링이 되는, $\mathcal{A}_\mathbf{k}$의 필터링된 변형을 정의하는 것.
• $\mathbf{G}_m$-등변성과 NEF 다발의 필터링 제약 조건을 이용해 변형의 형태를 제한함으로써, 미러 가족의 유한 차원 모듈리 공간을 도출하는 것.
• 분할된 링에서의 전사성과 핵의 소멸을 통해, 변형된 링과 심플렉틱 코호몰로지 $SH^0(X)$ 사이의 동형사상을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 로그 칼라비-요우 다양체의 degree-zero 심플렉틱 코호몰로지 $SH^0(X)$는 체 $\mathbf{k}$ 위에서 유한 생성된가?
• RQ2 워프드 플로어 군 $WF^*(L_0,L_1)$는 $SH^0(X)$ 위의 유한 생성 모듈러스인가?
• RQ3 최대 붕괴 및 호모로지적 섹션 조건 하에서, 워프드 푸카야 카테고리 $\mathcal{W}(X)$는 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$에 대한 카테고리적 크레펜트 해소가 될 수 있는가?
• RQ4 심플렉틱 코호몰로지의 유한성 성질은 미러 대수적 다양체 $X^\vee$에서 예상되는 대수적 유한성 조건과 어떻게 대응하는가?

주요 결과

• degree-zero 심플렉틱 코호몰로지 $SH^0(X,\mathbf{k})$는 유한 생성된 $\mathbf{k}$-대수이다.
• 전체 심플렉틱 코호몰로지 $SH^*(X,\mathbf{k})$는 $SH^0(X,\mathbf{k})$ 위의 유한 생성 모듈러스이다.
• 모든 람부르지언 브레인 쌍 $L_0, L_1$에 대해, 워프드 플로어 군 $WF^*(L_0,L_1)$는 $SH^0(X)$ 위의 유한 생성 모듈러스이다.
• 만일 $X$가 최대 붕괴되고 호모로지적 섹션을 갖는다면, $\mathcal{W}(X)$는 $\operatorname{Spec}(SH^0(X))$에 대한 카테고리적 크레펜트 해소가 된다.
• 세 개의 다발 $D_1,D_2,D_3$를 갖는 예시의 미러 가족은 $u(x_1x_2x_3 - u) = 0$로 정의된 초곡면과 동형이며, $\mathbb{A}^1$의 크기만큼의 특이점으로 인해 매끄러운 성분을 갖지 않는다.
• 스탠리-라이스너 링의 변형은 7개의 매개변수 가족 $g_{\vec{a}}$로 제한되며, 이로 생성된 링은 필터링된 동형사상에 의해 $\mathcal{A}_\Lambda$와 동형이다.