[논문 리뷰] Invariant measures of reflected stochastic delay differential equations with jumps

Lijun Bo, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단조성 계수 조건 하에서 다차원 반사 확률적 지연 미분 방정식에 점프가 포함된 경우, 정적 분포(불변 측도)의 존재성과 유일성을 확립한다. 스코로호드 공간 위의 마코프 반군을 이용하여, 유일한 불변 측도로의 수렴을 증명하고, 정적 상태에서 국소 시간의 장기적 행동을 조건부로 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of multi-dimensional reflected stochastic delay differ- ential equations with jumps. Based on the existence and uniqueness of the strong solution to the equation, we prove that the Markov semigroup generated by the segment process corresponding to the solution admits a unique invariant measure on the Skorohod space when the coefficients of equation satisfy a class of monotone conditions. Finally, we establish a relationship between the regulator and the local time of the solution and discuss a local time property at large time under the stationary setting .

연구 동기 및 목표

• 다차원 반사 확률적 지연 미분 방정식에 점프가 포함된 경우 강해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 반사 확률적 지연 SDE의 세그먼트 과정에 의해 생성된 마코프 반군이 스코로호드 공간에서 고유한 불변 측도를 가짐을 증명하기 위해.
• 특히 정적 상태에서 조건부로 국소 시간과 조절자 간의 관계를 규명하기 위해 장기적 행동을 조사하기 위해.
• 이러한 반사 과정의 정적 상태에서 국소 시간의 渐近적 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 반사 확률적 지연 방정식의 계수에 대해 단조 조건을 적용하여 강해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해.
• 해의 세그먼트 과정을 스코로호드 공간의 càdlàg 경로 위의 마코프 과정으로 분석하기 위해.
• 함수해석 기법을 적용하여 세그먼트 과정과 관련된 마코프 반군에 대한 불변 측도 존재성을 증명하기 위해.
• 경로 기반 분해 방법을 이용하여 조절자 과정과 해의 국소 시간 간의 관계를 수립하기 위해.
• ergodic 이론과 마르팅게일 방법을 활용하여 불변 측도 하에서 국소 시간의 장기적 행동을 연구하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 확률적 지연 SDE에 점프가 포함된 세그먼트 과정에 의해 생성된 마코프 반군이 스코로호드 공간에서 고유한 불변 측도를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 정적 상태에서 해의 국소 시간은 조절자 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 불변 측도 하에서 시간이 무한히 향할 때 국소 시간의 渐近적 성질은 무엇인가?
• RQ4 장기적 행동은 조절자와 국소 시간 과정 간의 상호작용를 통해 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 단조 계수 조건 하에서 반사 확률적 지연 SDE에 점프가 포함된 강해가 존재하고 유일하다.
• 세그먼트 과정에 의해 생성된 마코프 반군은 càdlàg 경로의 스코로호드 공간에서 고유한 불변 측도를 가진다.
• 조절자 과정과 해의 경로에 대한 국소 시간 간의 정밀한 관계가 수립된다.
• 정적 상태에서 국소 시간은 불변 측도와 조절자 구조에 의해 잘 정의된 장기적 행동을 나타낸다.