[논문 리뷰] Invariant probabilities for discrete time Linear Dynamics via Thermodynamic Formalism

Artur O. Lopes, Ali Messaoudi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 10.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비반사적 바나흐 공간인 $c_0(\mathbb{R})$ 및 $l^p(\mathbb{R})$ ($1 \leq p < \infty$) 위의 가중 이동 연산자에 대해 불변, 에르고딕하고 완전히 지지된 시그마-덧셈성 확률 측도의 존재를 새로운 형태의 열역학 체계 적응을 통해 증명한다. 헬더 연속 잠재력에 대해 전이 연산자 $\mathcal{L}_A$ 를 도입하고, 핵에 대한 사전 측도를 활용함으로써, 루엘-페르론-프로베니우스 정리에 기반하여 유일한 깁스 상태의 존재를 증명하며, 이는 이전에 반사 공간에 국한되었던 결과를 비반사 공간으로 확장한다.

ABSTRACT

We show the existence of invariant ergodic $σ$-additive probability measures with full support on $X$ for a class of linear operators $L: X o X$, where $L$ is a weighted shift operator and $X$ either is the Banach space $c_0(\mathbb{R})$ or $l^p(\mathbb{R})$ for $1\leq p

연구 동기 및 목표

• 비반사 바나흐 공간, 예를 들어 $c_0(\mathbb{R})$ 및 $l^p(\mathbb{R})$에서 이산 시간 선형 역학에 대해 불변, 에르고딕하고 완전히 지지된 시그마-덧셈성 확률 측도의 존재를 확립하는 것.
• 이전에 컴 pact 또는 반사 공간에 국한되었던 열역학 체계의 적용 범위를 비자명한 핵을 가진 광범위한 선형 연산자로 확장하는 것.
• 기존의 에르고딕 이론 기법과 다름없이 근사화에 의존하지 않는, 무한차원 선형 역학에서 깁스 측도를 구성하는 새로운 방법을 제공하는 것.
• 선형 연산자의 핵에 정의된 사전 측도가 '적합한' 조건을 만족할 때, 쌍대 전이 연산자가 유일한 고정점으로 수렴하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 유계 헬더 연속 잠재력 $A$ 를 통해 정의된 전이 연산자 $\mathcal{L}_A$ 가 $X = c_0(\mathbb{R})$ 또는 $l^p(\mathbb{R})$ 상의 연속 함수 위에 작용하도록 루엘-페르론-프로베니우스 정리를 무한차원 환경에 적응시키는 것.
• 1-워샤르슈트라인 공간 상의 확률 측도 위에 작용하는 쌍대 연산자 $\mathcal{L}_A^*$ 를 도입하여, 유일한 고정점으로 수렴함을 보장하는 것.
• 선형 연산자 $L$ 의 핵 위에 정의된 사전 확률 측도 $m$ 이 필요하며, $m$ 이 '적합한' 조건을 만족할 수 있도록 하는 조건을 설정하는 것 — 이는 수렴성과 콤팩트성 보장에 기여한다.
• 프로코라프의 정리와 콤팩트성 추정을 활용하여 쌍대 연산자의 궤도의 순차적 콤팩트성을 증명하고, 한계 측도의 존재를 도출하는 것.
• 워샤르슈트라인 거리에서 수축 원리 적용을 통해 쌍대 연산자의 반복 적용이 유일한 고정점으로 수렴함을 보이며, 이 고정점이 깁스 측도임을 증명하는 것.
• 적합한 측도를 위한 기준을 다항식 및 지수 꼬리 조건을 통해 설정하여, 수렴에 필요한 합계 조건을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학 체계를 통해 비반사 바나흐 공간, 예를 들어 $c_0(\mathbb{R})$ 및 $l^1(\mathbb{R})$ 위의 가중 이동 연산자에 대해 불변, 에르고딕하고 완전히 지지된 확률 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 선형 연산자 $L$ 의 핵 위에 정의된 사전 측도 $m$ 이 어떤 조건을 만족할 경우 쌍대 전이 연산자 $\mathcal{L}_A^*$ 가 유일한 고정점으로 수렴하는가?
• RQ3 표준 콤팩트성 조건이 실패하는 무한차원 비콤팩트 환경에서 루엘-페르론-프로베니우스 정리는 어떻게 무한차원 환경에 적응될 수 있는가?
• RQ4 무게 $d_n$ 의 성장과 $m$ 의 꼬리 행동에 대해 깁스 상태의 존재를 보장하기 위한 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유일한 깁스 확률 측도가 $X = c_0(\mathbb{R})$ 또는 $l^p(\mathbb{R})$, $1 \leq p < \infty$ 상의 1-워샤르슈트라인 공간 상의 쌍대 전이 연산자 $\mathcal{L}_A^*$ 의 고정점으로 존재한다.
• 구성된 깁스 측도는 $X$ 상에서 불변, 에르고딕이며, $X$ 가 비반사적일 경우, 예를 들어 $c_0(\mathbb{R})$ 또는 $l^1(\mathbb{R})$ 일지라도 전체 영역을 지지한다.
• 핵 위의 사전 측도 $m$ 이 적합한 경우, 깁스 측도의 존재가 보장되며, 이는 $m$ 이 차수 $\gamma > 1$ 의 다항식 꼬리를 가지며 $n^\ell / d_n \in X$ 를 만족하는 어떤 $\ell > \gamma^{-1}$ 가 존재할 경우 성립한다.
• 지수 꼬리의 경우, $m$ 이 적합한데, 이는 $(\log n)/d_n \in X$ 를 만족할 때 성립하며, 이는 $d_n$ 이 지수적으로 증가할 경우에 성립한다.
• 쌍대 연산자 $\mathcal{L}_A^*$ 의 깁스 측도로의 수렴은 워샤르슈트라인 거리에서의 수축 원리에 의해 증명되며, 임의의 두 초기 측도의 반복 적용 간 거리가 0으로 수렴함을 보여준다.
• 이 방법은 기존의 반사 공간에서의 밀도 궤도 기반 접근과 다름없이 근사화에 의존하지 않는 새로운 불변 측도 구성 방법을 제공한다.