[논문 리뷰] Investigations on $c$-Boomerang Uniformity and Perfect Nonlinearity

Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $c$-differentials를 사용하는 $c$-boomerang uniformity라는 새로운 개념을 도입하며, 모든 특성에서 완전 비선형 함수와 역함수에 대해 그 행동을 특성화한다. Walsh 변환과의 연결을 수립하고, 역함수의 $c$-BCT 최대 항목이 4 이하임을 증명하며, 이 값이 도달하는 조건을 특정한다.

ABSTRACT

We defined in~\cite{EFRST20} a new multiplicative $c$-differential, and the corresponding $c$-differential uniformity and we characterized the known perfect nonlinear functions with respect to this new concept, as well as the inverse in any characteristic. The work was continued in~\cite{RS20}, investigating the $c$-differential uniformity for some further APN functions. Here, we extend the concept to the boomerang uniformity, introduced at Eurocrypt '18 by Cid et al.~\cite{Cid18}, to evaluate S-boxes of block ciphers, and investigate it in the context of perfect nonlinearity and related functions.

연구 동기 및 목표

• 블록 암호의 S-박스 분석을 위한 새로운 도구로, $c$-differentials를 사용하여 boomerang uniformity 개념을 확장함으로써 $c$-boomerang uniformity를 도입한다.
• 모든 유한체 특성에서 완전 비선형 함수와 역함수에 대한 $c$-boomerang uniformity의 행동을 조사한다.
• 기존의 고전적 boomerang uniformity 결과를 일반화하기 위해 Walsh 변환을 통해 $c$-boomerang uniformity를 특성화한다.
• 역함수에 대한 $c$-BCT(Boomerang Connectivity Table)의 최대 가능한 항목을 규명하고, 이러한 값이 도달하는 조건을 특정한다.

제안 방법

• 고전적 boomerang 공격 분석을 곱셈적 미분으로 확장하기 위해 $c$-differential 프레임워크를 사용하여 $c$-boomerang uniformity를 정의한다.
• 다양한 $x$에 대한 대입에 기반한 $c$-differential 조건에서 유도된 연립방정식을 해결하여 $c$-BCT 항목을 유도한다.
• 유한체 위에서 이차방정식의 해의 개수를 분석하기 위해 대수기하학 및 체 이론 기법을 활용하여, 해가 하나 또는 두 개인 조건을 규명한다.
• Walsh 변환을 사용하여 $c$-boomerang uniformity를 특성화하고, 고전적 boomerang uniformity에 대한 Lie 등의 접근을 일반화한다.
• $\mathbb{F}_{p^n}$에서의 역함수를 분석하기 위해 $c$-boomerang 시스템에서 $x$의 가능한 모든 경우를 고려하여 해의 개수를 분류한다.
• 유도된 이차방정식의 판별식을 사용하여 해가 하나 또는 두 개인지 판단하고, 다양한 케이스 간의 해 집합 간 중복 여부를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $c$-differentials를 사용한 $c$-boomerang uniformity 개념이 고전적 boomerang uniformity를 일반화하는가?
• RQ2 역함수에 대한 $\mathbb{F}_{p^n}$에서의 최대 가능한 $c$-BCT 항목은 무엇이며, 어떤 조건에서 이 값이 도달하는가?
• RQ3 $c$-boomerang uniformity는 Walsh 변환과 어떻게 관련되어 있으며, 고전적 boomerang uniformity와 같은 방식으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 완전 비선형 함수는 유한한 $c$-boomerang uniformity를 가지는가? 이는 고전적 미분 균일성과 비교하여 어떻게 다른가?
• RQ5 다른 케이스에서 유도된 해 집합 간의 중복은 어떤 조건에서 발생하는가? 이러한 중복은 $c$-BCT 항목에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 역함수의 $c$-BCT 최대 항목은 최대 4이며, 이 값은 $c$에 대한 특정 대수적 조건에서 도달한다.
• 최대 $c$-BCT 항목 4는 일반 케이스(Case 5)가 동시에 케이스 1과 케이스 2 또는 케이스 3과 케이스 4와 결합될 때 발생하며, 이는 해 기여의 중복을 나타낸다.
• $1+2c-2c^2+2c^3+c^4=0$ 조건은 $c$-BCT 항목에 2의 기여를 유도하며, 이는 $p=19$ 이고 $c=4$ 또는 $c=4^{-1}$일 때에만 성립한다.
• 다른 케이스에서 유도된 해 집합 간의 중복은 흔치 않으며, 특정 다항식 항등식에서만 발생한다. 예를 들어 $b_3$와 $b_4$의 등가성은 $1-2c-2c^2-2c^3+c^4=0$일 때 성립한다.
• 각 케이스에서 유도된 이차방정식의 판별식은 해의 개수를 결정한다: $\mathbb{F}_{p^n}^*$에서 판별식이 제곱수이면 0개, 1개, 또는 2개의 해가 존재한다.
• $c$-BCT 항목은 $x$에 대한 다섯 개의 별개의 케이스를 풀어내는 것으로 완전히 결정되며, 해의 중복 수가 제한되어 있으므로 최종 최대 값은 유한하게 제한된다.