[논문 리뷰] Iterated icons

Eugenia Cheng, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 이중 범주에서 2-세포로 사용되는 강화된 아이콘을 이용해 약하게 강화된 범주를 반복적으로 구성한다. Cat에 두 번 적용할 경우 부분적으로 엄격한 트리카테고리의 대칭 모나드 이중 범주를 얻으며, 이중으로 탈퇴한 객체로 제한하면 2중으로 단일화된 범주의 이중 범주가 복원되어 고차 범주의 주기표를 완성한다.

ABSTRACT

We study the totality of weakly enriched in a monoidal bicategory using a notion of enriched icon as 2-cells. We show that when the monoidal bicategory in question is symmetric then this process can be iterated. We show that starting from the symmetric monoidal bicategory Cat and performing the construction twice yields a convenient symmetric monoidal bicategory of partially strict tricategories. We show that restricting to the doubly degenerate ones immediately gives the correct bicategory of 2-tuply monoidal categories missing from our earlier studies of the Periodic Table. We propose a generalisation to all k-tuply monoidal n-categories.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모나드 이중 범주에서 강화된 아이콘을 2-세포로 사용하여 반복적 강화의 체계적인 방법을 개발한다.
• 이전의 고차 범주 주기표 연구에서 누락된 2중으로 단일화된 범주의 이중 범주를 해결한다.
• Cat에서 출발하여 두 단계의 강화를 통해 부분적으로 엄격한 트리카테고리의 대칭 모나드 이중 범주를 구축한다.
• 임의의 k와 n에 대해 k중으로 단일화된 n-범주로 이 구성의 일반화를 시도한다.

제안 방법

• 모나드 이중 범주에서의 약한 강화에 강화된 아이콘을 2-세포로 사용하여 고차원 범주적 구조를 정의한다.
• 모나드 이중 범주의 대칭성을 활용하여 반복적 강화 과정을 적용함으로써 일관성을 확보한다.
• 강화의 초기 범주로 대칭 모나드 이중 범주 Cat를 집중적으로 고려한다.
• 결과로 얻어진 구조에서 이중으로 탈퇴한 객체로 제한하여 2중으로 단일화된 범주의 이중 범주를 추출한다.
• 반복적 강화 과정을 연장하여 k중으로 단일화된 n-범주로 구성의 일반화를 시도한다.
• 대칭 모나드 이중 범주의 일관성 정리들을 사용하여 결과로 얻어진 구조의 잘 정의됨과 결합법칙을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강화된 아이콘은 어떻게 대칭 모나드 이중 범주에서 반복적으로 고차원 범주적 구조를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 대칭 모나드 이중 범주 Cat에 강화 과정을 두 번 적용했을 때 어떤 구조가 도출되는가?
• RQ3 왜 이전의 고차 범주 주기표 제안에서 2중으로 단일화된 범주의 이중 범주는 누락되어 있었고, 어떻게 이를 복원할 수 있는가?
• RQ4 반복적 강화가 잘 정의된 대칭 모나드 이중 범주를 도출하기 위해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ5 이 구성은 어떻게 k중으로 단일화된 n-범주로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 대칭 모나드 이중 범주에서 강화된 아이콘을 사용한 반복적 강화는 Cat에 두 번 적용했을 때 잘 정의된 부분적으로 엄격한 트리카테고리의 대칭 모나드 이중 범주를 도출한다.
• 이중으로 강화된 구조에서 이중으로 탈퇴한 객체로 제한하면 정확한 2중으로 단일화된 범주의 이중 범주가 도출되며, 이는 이전 연구의 격차를 해결한다.
• 구성은 모나드 이중 범주의 대칭성이 반복적 강화가 일관되고 잘 조율되도록 하는 데 필수적임을 보여준다.
• 부분적으로 엄격한 트리카테고리의 대칭 모나드 이중 범주는 고차 범주적 일관성과 일관성 정리 연구에 자연스러운 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법은 k중으로 단일화된 n-범주로 일반화되며, 반복적 강화를 통한 이러한 구조의 체계적 구성 방법을 제공한다.