[논문 리뷰] The low-dimensional structures that tricategories form

Richard Garner, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 먼저 삼차 범주와 그 호모모르피즘들을 이차 범주로 묶은 다음, 이를 국소적으로 이중 이차 범주로 확장하여 삼차 차원의 범주론적 구조를 구성한다. 또한 모든 잘 조건이 부여된 국소적으로 이중 이차 범주가 삼차 범주로 이끌어낸다는 것을 증명함으로써, 삼차 범주의 대상과 삼차 범주 호모모르피즘을 갖는 삼차 범주의 존재를 확립한다.

ABSTRACT

We form tricategories and the homomorphisms between them into a bicategory. We then enrich this bicategory into an example of a three-dimensional structure called a locally double bicategory, this being a bicategory enriched in the monoidal 2-category of weak double categories. Finally, we show that every sufficiently well-behaved locally double bicategory gives rise to a tricategory, and thereby deduce the existence of a tricategory of tricategories.

연구 동기 및 목표

• 삼차 범주와 그 호모모르피즘의 집합을 고차원 범주론적 구조로 형식화하기.
• 적절한 2-세포의 구성 하에 삼차 범주가 자연스럽게 이차 범주를 이룬다는 것을 보여주기.
• 이 이차 범주를 국소적으로 이중 이차 범주로 확장하여, 약한 이차 범주에서의 고차원 호모토피 일관성 구조를 포착하기.
• 충분히 잘 조건이 부여된 국소적으로 이중 이차 범주가 삼차 범주로 이끌어진다는 것을 보여주어 삼차 범주의 삼차 범주를 구성할 수 있도록 하기.
• 삼차 범주의 대상이 삼차 범주이고, 사상이 강한 호모모르피즘, 2-세포가 그들 사이의 변환인 잘 정의된 삼차 범주의 존재를 확립하기.

제안 방법

• 호모모르피즘 사이의 변환으로서 적절한 2-세포를 정의하여 삼차 범주와 그 호모모르피즘들로부터 이차 범주를 구성하기.
• 약한 이중 범주로 이루어진 모나이드 이차 범주에서 이 이차 범주를 국소적으로 이중 이차 범주로 확장하기.
• 약한 이중 범주의 호모토피 이론을 활용하여 확장 과정이 삼차 범주의 구조를 유지함을 보장하기.
• 모든 잘 조건이 부여된 국소적으로 이중 이차 범주에 대해 삼차 범주를 할당하는 일반적 구성 방법 적용하기.
• 유도된 삼차 범주가 삼차 범주의 공리, 특히 합성과 항등원에 대한 호모토피 일관성 조건을 만족함을 검증하기.
• 이 구성이 함자적이고 삼차 범주 간의 의도된 범주론적 관계를 유지함을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼차 범주와 그 호모모르피즘의 집합은 고차원 범주론적 구조로 정리될 수 있는가?
• RQ2 삼차 범주의 이차 범주는 어떻게 확장되어 고차원 호모토피 일관성을 체계적으로 포착할 수 있는가?
• RQ3 국소적으로 이중 이차 범주가 삼차 범주로 이끌어지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 삼차 범주의 대상이 삼차 범주이고 사상이 삼차 범주 호모모르피즘인 잘 정의된 삼차 범주는 존재하는가?
• RQ5 약한 이중 범주는 삼차 범주적 구조를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 삼차 범주와 그 호모모르피즘의 이차 범주는 자연스럽게 국소적으로 이중 이차 범주로 확장될 수 있다.
• 충분히 잘 조건이 부여된 국소적으로 이중 이차 범주는 삼차 범주로 이끌어지며, 이는 일반적인 구성 원리로 기능한다.
• 이 구성 과정을 통해 삼차 범주의 삼차 범주의 존재가 확립되어 고차 범주론의 기초적 질문을 해결한다.
• 이 구성은 삼차 범주 간의 의도된 범주론적 관계, 즉 합성과 호모토피 데이터를 유지한다.
• 이 방법은 약한 이중 범주적 구조에서 삼차 범주를 체계적으로 생성할 수 있는 방법을 제공한다.
• 결과적으로 삼차 범주는 일관된 고차원 범주를 이룬다는 것이 확인되어, 고차원 대수학과 기하학에서의 응용을 뒷받침한다.