[논문 리뷰] Lagrangian potential theory and a Lagrangian equation of Monge-Ampère type

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 10.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Gromov-호환성 있는 메트릭을 지닌 심플렉틱 다양체 위에서 새로운 라그랑주 포텐셜 이론을 제안하며, 헤시안의 트레이스와 반대칭 헤르미트 부분에 기반한 라그랑주 몽레-암페르 연산자를 정의한다. 이는 모든 $N = 2^n$ 개의 분지에 대해 딜리클레 문제의 해가 존재하고 유일함을 보이며, 고전적 복소기하학의 복소포텐셜 이론을 라그랑주 설정으로 일반화한다. 응용 분야로는 Gromov 다양체와 복소공간 $ℂ^n$ 이 있다. 주요 기여는 딜리클레 문제에 대한 완전한 해법과 라그랑주 부분공간을 통한 연산자의 새로운 기하학적 특성화이다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a Lagrangian potential theory, analogous to the classical pluripotential theory, and to define and study a Lagrangian differential operator of Monge-Ampere type. This development is new even in ${\bf C}^n$. However, it applies quite generally -- perhaps most importantly to symplectic manifolds equipped with a Gromov metric. The Lagrange Monge-Ampere operator is an explicit polynomial on ${ m Sym}^2(TX)$ whose principle branch defines the space of Lag-harmonics. Interestingly the operator depends only on the Laplacian and the SKEW-Hermitian part of the Hessian. The Dirichlet problem for this operator is solved in both the homogeneous and inhomogeneous cases. The homogeneous case is also solved for each of the other branches. This paper also introduces and systematically studies the notions of Lagrangian plurisubharmonic and harmonic functions, and Lagrangian convexity. An analogue of the Levi Problem is proved. In ${\bf C}^n$ there is another concept, Lag-plurihamonics, which relate in several ways to the harmonics on any domain. Parallels of this Lagrangian potential theory with standard (complex) pluripotential theory are constantly emphasized.

연구 동기 및 목표

• 복소기하학에서의 고전적 복소포텐셜 이론과 유사한 라그랑주 포텐셜 이론을 개발하기 위해.
• 심플렉틱 다양체에 Gromov-호환성 메트릭이 존재하는 조건 하에서, 몽레-암페르 유형의 라그랑주 미분 연산자를 정의하고 연구하기 위해.
• 엄격히 라그랑주-볼록 경계를 갖는 유계 영역에서 라그랑주 몽레-암페르 방정식의 동차 및 비동차 경우에 대해 딜리클레 문제를 해결하기 위해.
• 라그랑주 복소하모닉 및 복소하모닉 함수, 라그랑주 볼록성의 개념을 도입하고 분석하기 위해.
• 라그랑주 설정에서 레비 문제의 유사판을 증명하여, 준복소성의 기하학적 특성화를 수립하기 위해.

제안 방법

• 라그랑주 몽레-암페르 연산자는 $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^{2n})$ 위에서 degree $N = 2^n$ 인 동차 다항식으로 정의되며, 헤시안의 트레이스와 반대칭 헤르미트 부분에만 의존한다.
• 연산자의 주 분지는 기하학적으로 모든 라그랑주 $n$-평면 $W$ 에 대해 $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ 를 만족하는 행렬 $A$ 의 집합으로 특성화된다.
• 두 가지 내재적 구성 방법이 제시된다: 하나는 $\mathrm{Spin}^c$-_bundle $\Lambda^{0,*}(X)$ 를 통한 것이고, 다른 하나는 $\Lambda^n_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^{2n}$ 위에서의 미분을 통한 것이다. 이 두 방법은 Gromov 다양체에서 동일한 연산자를 유도한다.
• 연산자가 항등행렬에 대해 G {\i}rding 초구형임을 보이며, 이는 G {\i}rding 고유값 $\Lambda_k(A) \geq 0$ 가 증가하는 순서로 $N$ 개의 중첩된 부등식을 이끌어낸다.
• 경계에서 엄격한 라그랑주 볼록성 조건을 만족할 경우, 볼루션 해법과 볼루션 해법을 사용하여 각 $N$ 개의 분지에 대해 딜리클레 문제를 해결하며, 존재성과 유일성을 보장한다.
• 모든 라그랑주 평면에서 헤시안 조건을 만족하는 함수로 라그랑주 복소하모닉 함수의 개념을 정의하고, 볼루션 시험 함수를 통해 상부 하우스도르프 함수로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 다양체 위에서 복소포텐셜 이론과 유사한 잠재력 이론을 라그랑주 설정에서 개발할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 몽레-암페르 연산자의 내재적 구조는 무엇이며, 라그랑주 부분공간의 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 라그랑주 몽레-암페르 방정식의 딜리클레 문제는 기하학적 볼록성 조건 하에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ4 라그랑주 복소하모닉 함수는 최소 라그랑주 부분다양체 위에서의 하모닉성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 레비 문제의 유사판으로서, 라그랑주 설정에서 준복소성의 기하학적 특성화가 존재하는가?

주요 결과

• 라그랑주 몽레-암페르 연산자 $\mathrm{M}_{\mathrm{Lag}}(D^2u)$ 는 $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^{2n})$ 위에서 degree $2^n$ 인 동차 다항식이며, 모든 라그랑주 $n$-평면 $W$ 에 대해 $\mathrm{tr}(A|_W) \geq 0$ 를 만족하는 행렬 $A$ 의 집합으로 기하학적으로 특성화된다.
• 이 연산자는 $\mathrm{tr}(A)$ 와 반대칭 헤르미트 부분 $A^{\mathrm{skew}}$ 에만 의존하며, 트레이스가 0인 헤르미트 대칭 행렬의 덧셈에 대해 불변이다.
• 이 연산자는 항등행렬에 대해 G {\i}rding 초구형이며, $N = 2^n$ 개의 중첩된 부등식 $\Lambda_k(D^2u) \geq 0$ 를 유도하며, 각각은 방정식의 한 분지에 대응한다.
• 모든 $C^\infty$-유계 영역 $\Omega \subset\subset \mathbb{C}^n$ 에 대해 엄격히 라그랑주-볼록 경계를 갖는 경우, 각 $k = 1, \dots, N$ 에 대해 동차 딜리클레 문제 $\Lambda_k(D^2u) = 0$ 는 유일한 해를 갖는다.
• 경계 볼록성 조건은 $k$ 가 $N$ 에서 $N/2$ 로 감소함에 따라 점점 더 느슨해지며, $k = N/2$ 에서 가장 약한 조건이 된다.
• 모든 Gromov 다양체 $X$ 에서, $X$ 위에 $C^\infty$, 전단사, 엄격히 라그랑주-복소하모닉이고, 고갈 함수가 존재하는 조건 하에, 동일한 조건으로 딜리클레 문제의 해가 존재한다.