[논문 리뷰] Large deviations from a stationary measure for a class of dissipative PDE's with random kicks

Vojkan Jakšić, Vahagn Nersesyan외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 03.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 비가역성 PDE(예: 2D 라우아르-스트로스 방정식)에 의해 생성된 마르코프 과정의 직업 측도에 대해 대규모 변동 원리(LDP)를 수립한다. 이 과정은 유계이고 비퇴화되는 랜덤 킥에 의해 흔들린다. 키퍼의 기준, 라플라스-슐레드 분해, 일반화된 마르코프 반군의 점근적 분석을 사용하여, 저자들은 시간 평균 경험 측도가 좋은 비용 함수를 가진 LDP를 만족함을 증명한다. 이 비용 함수는 오직 컴act 집합 위에서만 유한하며, 정적 측도로부터의 주어진 크기의 이탈인 희귀 사건을 특성화한다.

ABSTRACT

We study a class of dissipative PDE's perturbed by a bounded random kick force. It is assumed that the random force is non-degenerate, so that the Markov process obtained by the restriction of solutions to integer times has a unique stationary measure. The main result of the paper is a large deviation principle for occupation measures of the Markov process in question. The proof is based on Kifer's large deviation criterion, a Lyapunov-Schmidt type reduction, and an abstract result on large-time asymptotic for generalised Markov semigroups.

연구 동기 및 목표

• 비가역성 PDE에 랜덤 킥 힘이 가해진 경우의 마르코프 과정에서의 직업 측도에 대해 대규모 변동 원리(LDP)를 수립하는 것.
• 시간 평균 경험 측도가 유일한 정적 측도로부터 벗어나는 큰 이탈의 확률의 지수 감소 속도를 특성화하는 것.
• 중앙극한정리와 반복로그 법칙을 넘어서, 주어진 크기의 이탈에 대한 희귀 사건의 이해를 확장하는 것.
• 2D 라우아르-스트로스 방정식과 기진부르크-랜다우 방정식 등과 같은 시스템에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 키퍼의 대규모 변동 원리 기준을 적용하여 LDP 문제를 일반화된 마르코프 반군의 장기 점근적 분석으로 환원하는 것.
• 유한차원 사영에서의 동역학을 단순화하기 위해 라플라스-슐레드 유형의 분해를 사용하여 반군 행동을 제어하는 것.
• 마르코프 과정에 대해 균일한 펠러 성질을 도입하여 전이 확률의 정규성과 수렴성을 보장하는 것.
• 확률 측도 공간 위의 역극한 위상에서 유한차원 LDP의 프로젝티브 극한을 구성하는 것.
• 유한차원 근사의 극한을 취하고 지수 등가성을 검증하여 무한차원 전체 시스템에 대한 LDP를 증명하는 것.
• 다우손-가르트너 정리를 사용하여 유한차원 사영에서의 LDP를 전체 경로 공간의 확률 측도로 올리는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위로 강화된 비가역성 PDE의 해에 대한 시간 평균 경험 측도가 정적 측도로부터 주어진 크기의 이탈을 보일 확률의 감소 속도는 무엇인가?
• RQ2 유계 랜덤 킥 힘이 가해진 비가역성 PDE에 의해 생성된 마르코프 과정의 직업 측도에 대해 대규모 변동 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 랜덤 힘의 구조(비퇴화, 유계, i.i.d. 킥)는 정적 측도의 존재성과 유일성, 그리고 LDP 비용 함수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 무한차원 전체 시스템에 대한 LDP는 유한차원 사영에서의 LDP로부터 얼마나 잘 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 마르코프 과정의 직업 측도는 오직 확률 측도 공간의 컴act 부분집합 위에서만 유한한 좋은 비용 함수를 가진 대규모 변동 원리를 만족한다.
• 비용 함수는 유한차원 사영에서의 상한으로 주어지며, $ I(\boldsymbol{\sigma}) = \sup_{m \geq 1} I_m(\boldsymbol{\sigma} \circ p_m^{-1}) $ 로 표현되어 하부 연속성과 컴act 수준 집합을 보장한다.
• LDP는 초기 조건에 대해 균일하게 성립하며, 캄토로비치-워샤르슈타인 거리에서 정적 측도로의 수렴은 지수적으로 빠르다.
• 결과는 비퇴화되고 유계된 $ L^2 $-노름을 가진 랜덤 킥 힘을 받는 2D 라우아르-스트로스 시스템과 기진부르크-랜다우 방정식에 적용 가능하다.
• 증명 과정에서 LDP는 다우손-가르트너 정리와 사영 간의 균일한 지수 등가성에 기반한 프로젝티브 극한 추론을 통해 확립된다.