[논문 리뷰] Learning t-doped stabilizer states

Lorenzo Leone, Salvatore F. E. Oliviero외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 24.

Ferroelectric and Negative Capacitance DevicesEngineering참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $t$-doped 스태빌라이저 상태—스태빌라이저 상태에 $t$개의 비클리포드 T-게이트를 적용하여 생성된 양자 상태—에 대한 새로운 학습 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 스태빌라이저 엔트로피 기반의 대수적 프레임워크를 사용하며, 벨 측정을 통해 제곱된 파울리 기대값에서 유도된 분포로부터 샘플링을 수행한다. 이로써 $O(\text{poly}(n)\text{exp}(t))$의 자원으로 정확한 톰오그라피 재구성을 달성하며, 실패 확률은 지수적으로 작다. 이는 몬타나로의 스태빌라이저 학습 프로토콜을 비클리포드 상태로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we present a learning algorithm aimed at learning states obtained from computational basis states by Clifford circuits doped with a finite number $t$ of $T$-gates. The algorithm learns an exact tomographic description of $t$-doped stabilizer states in terms of Pauli observables. This is possible because such states are countable and form a discrete set. To tackle the problem, we introduce a novel algebraic framework for $t$-doped stabilizer states, which extends beyond $T$-gates and includes doping with any kind of local non-Clifford gate. The algorithm requires resources of complexity $ ext{poly}(n,2^t)$ and exhibits an exponentially small probability of failure.

연구 동기 및 목표

• 스태빌라이저 상태에 $t$개의 비클리포드 T-게이트를 적용한 $t$-doped 스태빌라이저 상태에 대한 효율적인 학습 알고리즘을 개발한다.
• 원래 $t=0$일 때만 효율적이었던 몬타나로의 스태빌라이저 상태 학습 프로토콜을 $t$-doped 상태의 더 넓은 클래스로 확장한다.
• 스태빌라이저 엔트로피를 사용하여 $t$-doped 스태빌라이저 상태의 새로운 대수적 프레임워크를 수립하여 비스태빌라이저 성질을 특성화하고 학습을 이끌어낸다.
• $t = O(\log n)$일 때 $n$에 대해 다항식 자원으로 상태의 생성자와 위상의 고전적 재구성을 가능하게 한다.
• 단지 $\ket{\psi_t}$와 그 켤레 상태에 대한 쿼리 접근만으로도 $\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$ 분포에서의 샘플링이 $\psi_t$의 정확한 학습에 충분함을 보여준다.

제안 방법

• 스태빌라이저 엔트로피 $M_\alpha(\psi_t)$를 사용하여 $t$-doped 스태빌라이저 상태의 새로운 대수적 구조를 도입한다. 이는 비스태빌라이저 성질을 정량화하고, 파울리 연산자를 '좋은' 및 '나쁜' 생성자로 분류하는 데 기여한다.
• 분포 $\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$ 를 정의하며, 이 분포의 샘플은 $\ket{\psi_t} \otimes \ket{\psi_t^*}$에서의 벨 측정을 통해 취득된다. 이는 각 샘플에 대해 한 번의 쿼리로 효율적인 접근을 가능하게 한다.
• 두 단계 학습 절차를 사용한다: 첫째, $k < 4^t$개의 '나쁜' 생성자(기대값이 작지만 0이 아닌 파울리 연산자)를 식별하고, 둘째, $O(2^{(2b+1)t}\log(k+1))$개의 샘플과 $O(k2^{2bt})$회의 측정 쇼트를 사용하여 기대값을 고정밀도로 추정한다.
• 나쁜 생성자의 최소 기대값을 $\delta_t \geq (1 - 2^{-1/2})^t$로 유계화함으로써, $b \approx 1.77$일 때 $O(2^{2bt})$회의 측정 쇼트로 정확한 추정이 가능하다는 것을 보장한다.
• 학습된 생성자와 위상을 조합하여 전체 상태를 재구성하며, 총 계산 비용은 $O(4^t n^2)$이고 실패 확률은 $O(n 2^{-n})$이다.
• 특히 $t = O(\log n)$일 때 총 자원이 $n$에 대해 다항식 스케일링되며, 이는 평균 케이스에서의 효율적 학습을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템적 대수적 프레임워크를 사용하여 스태빌라이저 상태를 초월해 $t$-doped 스태빌라이저 상태의 학습을 확장할 수 있는가?
• RQ2 단지 $\ket{\psi_t}$와 그 켤레 상태에 대한 쿼리 접근만으로도 $\Xi_{\psi_t}(P) = \operatorname{tr}^2(P\psi_t)/d$ 분포에서 샘플링이 가능한가?
• RQ3 좋은 생성자와 나쁜 생성자의 지식을 활용하여 $\ket{0}^{\otimes n}$에서 $\ket{\psi_t}$를 준비하는 클리포드+T 회로를 합성할 수 있는가?
• RQ4 샘플 수, 측정 쇼트 수, 고전적 계산 비용 측면에서 $t$-doped 스태빌라이저 상태 학습의 자원 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ5 실패 확률은 시스템 크기 $n$에 따라 어떻게 스케일링되며, 이를 지수적으로 작게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $\Xi_{\psi_t}$에서의 $O(2^t n + t 2^{5t})$개 샘플, $O(2^{6t} + 2^{3t} n(n+t))$회의 측정 쇼트, $O(4^t n^2)$회의 고전적 계산 단계를 사용하여 $t$-doped 스태빌라이저 상태를 학습한다.
• 알고리즘의 실패 확률은 최대 $O(n 2^{-n})$이며, 이는 $n$에 대해 지수적으로 작다.
• $t = O(\log n)$일 때 총 자원이 $n$에 대해 다항식 스케일링되며, 이는 평균 케이스에서의 효율적 학습을 가능하게 한다.
• $t = 0$일 때 알고리즘이 정확히 몬타나로의 스태빌라이저 상태 학습 프로토콜로 축소되며, 이는 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• 분포 $\Xi_{\psi_t}$에서의 샘플링은 $\ket{\psi_t} \otimes \ket{\psi_t^*}$에서의 벨 샘플링을 통해 수행되며, 각 샘플에 대해 한 번의 쿼리만 필요하다.
• 스태빌라이저 엔트로피 프레임워크는 파울리 연산자를 '좋은' 생성자와 '나쁜' 생성자로 정밀하게 분류할 수 있게 하며, 이는 학습 오차와 자원 스케일링을 제어하는 데 필수적이다.