[논문 리뷰] Local controllability of 1D Schrödinger equations with bilinear control and minimal time

Karine Beauchard, Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 27.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 슈뢰딩거 방정식의 이차 제어를 위한 일반적 프레임워크를 수립하며, 제어 가능성이 가능한 최소 시간 이하일 경우에만 성립함을 증명한다. 최소 시간은 해의 멱급수 전개에서 두 번째 항에 기인하며, 저자들은 이에 따라 임의의 매우 작은 시간 동안 제어 가능성이 실패하는 조건을 도출한다. 이는 이전의 특수한 경우에 대한 최소 시간 요구 조건을 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded interval, with bilinear control. Beauchard and Laurent proved that, under an appropriate non degeneracy assumption, this system is controllable, locally around the ground state, in arbitrary time. Coron proved that a positive minimal time is required for this controllability, on a particular degenerate example. In this article, we propose a general context for the local controllability to hold in large time, but not in small time. The existence of a positive minimal time is closely related to the behaviour of the second order term, in the power series expansion of the solution.

연구 동기 및 목표

• 이차 제어를 갖는 1차원 슈뢰딩거 방정식의 국소 제어 가능성에 대해, 임의의 매우 작은 시간 동안 실패하는 조건을 만족하는 다이폴 모멘트 $\mu$에 대한 일반 조건을 규명하는 것.
• 이전의 특수한 경우에 대한 결과를 확장하여, 국소 제어 가능성에 대해 양의 최소 시간이 존재하는지를 특성화하는 것.
• 최소 시간 요구 조건이 해의 멱급수 전개에서 두 번째 항의 행동과 어떻게 연결되는지를 규명하는 것.
• 스펙트럼 및 $\mu$의 정규성 성질에 기반하여, 큰 시간에는 제어 가능하지만 작은 시간에는 불가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 해의 멱급수 전개를 분석하여, 최소 시간 제약 조건을 결정하기 위해 두 번째 항에 초점을 맞춘다.
• 비퇴화 조건 하에서 $\mu$에 대해 선형 테스트와 역함수정리로 큰 시간에서의 제어 가능성을 확립한다.
• 잉함 부등식과 컴팩턴스 추론을 적용하여, 두 번째 항이 0이 되면 제어가 0이 아닐 경우 모순이 발생함을 보인다.
• 모멘트 문제와 스펙트럼 분석을 활용하여, 최소 시간 임계값이 시스템의 동역학과 관련된 연산자 $K$의 구조에서 유래됨을 증명한다.
• 제어 가능성을 정량화하기 위해 기능 $\mathcal{Q}_T(S)$를 도입하고, 변분 방법을 사용하여 제어 함수에 대한 그 최대값을 분석한다.
• 제어를 고유함수의 스칼라 곱에 투영하기 위해 연산자 $L_T$를 사용하여 $L^2$-노름과 변화량의 경계를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다이폴 모멘트 $\mu$가 어떤 조건을 만족할 경우, 1차원 슈뢰딩거 방정식의 이차 제어 시 임의의 매우 작은 시간 동안 국소 제어 가능성이 실패하는가?
• RQ2 최소 시간 제어 가능성은 해의 멱급수 전개에서 두 번째 항의 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 양의 최소 시간이 필요한 시스템과 임의의 시간에 제어 가능한 시스템을 구분할 수 있는 일반적 프레임워크를 수립할 수 있는가?
• RQ4 경계에서 $\mu$의 스펙트럼 행동이 최소 시간 제어 가능성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle$의 정규성 및 감쇠 성질이 최소 시간 존재에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 해의 멱급수 전개에서 두 번째 항이 0이 아닐 경우, 일반적으로 특정 $\mu$에 대해 국소 제어 가능성을 위해 양의 최소 시간이 필요하다.
• 최소 시간 임계값은 기능 $\mathcal{Q}_T(S)$가 0이 아니라는 것과 연관되며, 주어진 가정 하에서 작은 $T$에 대해 이 기능이 음수임을 보였다.
• $T < \tilde{T}_{\text{min}}^1$ 인 경우, 기능 $\mathcal{Q}_T(S)$는 음수 상수로 균일하게 위쪽으로 유계이며, 이는 작은 시간에서의 제어 가능성 실패를 의미한다.
• 증명은 $\lambda(T) = 0$ 이라고 가정할 경우 반복 미분과 컴팩턴스를 통해 모순이 발생함을 보이며, 이는 제어가 0이 되도록 강제한다.
• 최소 시간 임계값은 $\mu$의 스펙트럼 성질에 따라 달라지며, 특히 $k \to \infty$ 일 때 $|\langle \mu \varphi_1, \varphi_k \rangle|$의 감쇠 속도에 따라 달라진다.
• 이 프레임워크는 이전 결과를 일반화하며, 예를 들어 $\mu(x) = x - 1/2$ 인 코론의 예제를 포함하고, 최소 시간 존재에 대한 통합 조건을 제공한다.