[논문 리뷰] Local Hamiltonians with No Low-energy Trivial States

Lior Eldar, Aram W. Harrow|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 31인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 99.9999999%의 큐비트에 국한된 경우에도 여전히 매우 높은 양자 얽힘을 유지하는 16-국소 해밀토니안의 가족을 구성한다. 이는 저에너지 상태에서 강력한 양자 얽힘을 보여주며, NLTS 및 qLDPC 추측에 대한 증거를 제공한다. 고전적 국소적으로 검증 가능한 코드에 초과그래프 곱을 적용함으로써, 저깊이 양자 회로에서 정점 확장의 강력한 하한을 증명하였으며, 이는 NLTS 및 qLDPC 추측에 대한 기여를 한다.

ABSTRACT

Ground states of local Hamiltonians can be generally highly entangled: any quantum circuit that generates them (even approximately) must be sufficiently deep to allow coupling (entanglement) between any pair of qubits. Until now this property was not known to be robust - the marginals of such states to a subset of the qubits containing all but a small constant fraction of them may be only locally entangled, and hence approximable by shallow quantum circuits. In this work we construct a family of 16-local Hamiltonians for which any 1-10^{-9} fraction of qubits of any ground state must be highly entangled. This provides evidence that quantum entanglement is not very fragile, and perhaps our intuition about its instability is an artifact of considering local Hamiltonians which are not only local but spatially local. Formally, it provides positive evidence for two wide-open conjectures in condensed-matter physics and quantum complexity theory which are the qLDPC conjecture, positing the existence of good quantum LDPC codes, and the NLTS conjecture due to Freedman and Hastings positing the existence of local Hamiltonians in which any low-energy state is highly-entangled. Our Hamiltonian is based on applying the hypergraph product by Tillich and Zemor to a classical locally testable code. A key tool in our proof is a new lower bound on the vertex expansion of the output of low-depth quantum circuits, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 국소 해밀토니안이 국소적으로 단순한 낮은 에너지 상태를 가지지 않는다는 가정인 NLTS 추측에 대한 증거를 제공하기 위해.
• 국소 해밀토니안의 기저 상태에서의 양자 얽힘은 국소적 제한 조건 하에서 취약한가, 아니면 강건한가를 조사하기 위해.
• 좋은 코드 성질과 높은 얽힘 깊이를 동시에 가지는 해밀토니안의 가족을 구성함으로써 qLDPC 추측을 뒷받침하기 위해.
• 낮은 깊이의 양자 회로에서 정점 확장에 대한 새로운 하한을 확립하기 위해, 이는 핵심 기술적 도구이다.

제안 방법

• 고전적 국소적으로 검증 가능한 코드에 Tillich와 Zemor의 초과그래프 곱을 적용하여 양자 해밀토니안을 생성한다.
• 결과로 얻어진 해밀토니안은 16-국소적이며, 강력한 국소성 제약을 유지하면서도 코드 이론적 성질을 그대로 유지한다.
• 낮은 깊이의 양자 회로 출력에 대한 정점 확장에 대한 새로운 하한을 유도하였으며, 이는 얽힘 강건성 증명의 핵심이다.
• 고전적 코드의 확장성 및 초과그래프 곱의 구조적 성질을 활용하여, 모든 것 외의 매우 작은 비율을 제외한 모든 큐비트 부분집합이 여전히 매우 높은 얽힘을 유지함을 보장한다.
• 이러한 큰 부분집합에서의 국소 상태를 근사할 수 없는 낮은 깊이의 양자 회로가 존재함을 보여줌으로써, 얽힘 강건성을 확립한다.
• 특히 상호작용 그래프에서의 확장성, 스펙트럼 및 조합적 성질을 활용하여, 결과로 얻어진 복합체의 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 해밀토니안의 기저 상태는 거의 모든 큐비트에 국한된 경우에도 여전히 매우 높은 얽힘을 유지할 수 있는가?
• RQ2 이러한 상태에서의 양자 얽힘은 국소적 절단 조건 하에서 취약한가, 아니면 부분 관측에 대해 강건한가?
• RQ3 NLTS 추측은 국소적이며 공간적으로 국소적인 해밀토니안에 대해서도 성립하는가?
• RQ4 초과그래프 곱 구성법을 통해 강력한 얽힘과 코드 이론적 성질을 동시에 가지는 해밀토니안를 얻을 수 있는가?
• RQ5 낮은 깊이의 양자 회로 출력에서 정점 확장에 대해 어떤 하한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 해밀토니안은 16-국소적이며, 큐비트의 1 - 10^-9 비율에 국한된 경우에도 여전히 매우 높은 얽힘을 유지하는 기저 상태를 가진다.
• 이 해밀토니안의 낮은 에너지 상태는 모든 것 외의 부정확한 비율을 제외한 모든 큐비트에서 매우 높은 얽힘을 가져야 하며, 이는 NLTS 추측을 지지한다.
• 낮은 깊이의 양자 회로 출력에 대한 정점 확장에 대한 새로운 하한이 증명되었으며, 이는 핵심 기술적 기여이다.
• 결과로 얻어진 코드는 높은 거리와 일정한 비율을 가지므로, 좋은 양자 LDPC 코드의 존재에 대한 긍정적 증거를 제공한다 (qLDPC 추측에 기여).
• 이 방법은 이러한 시스템에서의 얽힘이 공간 국소성의 산물이 아니라 근본적으로 강건함을 보여준다.
• 결과는 양자 얽힘이 이전에 생각한 것보다 더 안정적임을 시사하며, 그 취약성에 대한 통찰을 도전한다.