[논문 리뷰] Local Models For The Moduli Stacks of Global $G$-Shtukas

Esmail Arasteh Rad, Somayeh Habibi|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 함수체의 샤플러 다양체에 대한 함수체 버전인 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 국소 모델을 두 가지 접근 방식을 통해 개발한다: 하나는 전역 유계 조건과 전역 아핀 그라스만리안 내의 슈버트 다양체를 이용한 것이고, 다른 하나는 특성 자리에서 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카와 국소 ${\mathbb{P}}$-시투카를 연결하는 변형 이론을 통한 것이다. 주요 결과는 약간의 분기된 ${\mathfrak{G}}$에 대해 반사 링 위에서의 평탄성 증명과 함께, 코트위츠-라포포르트 분할의 도입 및 특수 섹션에서의 교차 코hom로지의 분석이다.

ABSTRACT

In this article we develop the theory of local models for the moduli stacks of global $G$-shtukas, the function field analogs for Shimura varieties. Here $G$ is a smooth affine group scheme over a smooth projective curve. As the first approach, we relate the local geometry of these moduli stacks to the geometry of Schubert varieties inside global affine Grassmannian, only by means of global methods. Alternatively, our second approach uses the relation between the deformation theory of global $G$-shtukas and associated local $P$-shtukas at certain characteristic places. Regarding the analogy between function fields and number fields, the first (resp. second) approach corresponds to the Beilinson-Drinfeld-Gaitsgory (resp. Rapoport-Zink) local model for (PEL-)Shimura varieties. As an application, we prove the flatness of these moduli stacks over their reflex rings, for tamely ramified group $G$. Furthermore, we introduce the Kottwitz-Rapoport stratification on these moduli stacks and discuss the intersection cohomology of the special fiber.

연구 동기 및 목표

• 전역 아핀 그라스만리안의 닫힌 부분다양체의 동치류로 정의된 전역 유계 조건 ${\cal{Z}}$를 도입하여 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 모듈리 스택에 대한 전역 이론을 수립한다.
• 고정된 특성 자리 $\nu_i$에서의 변형 이론을 통해 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카와 관련된 국소 ${\mathbb{P}}$-시투카를 연결함으로써 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 국소 모델 이론을 개발한다.
• 함수체 랑글랜드 프로그램의 결과를 확장하여, 약간의 분기된 ${\mathfrak{G}}$에 대해 모듈리 스택이 그 반사 링 위에서 평탄함을 증명한다.
• 모듈리 스택에 대한 코트위츠-라포포르트 분할을 도입하고 이를 연구한다.
• 균일화와 보트-사멜슨 해상법을 이용하여 이러한 모듈리 스택의 특수 섹션에서의 교차 코호몰로지 구조를 분석한다.

제안 방법

• 전역 아핀 그라스만리안의 닫힌 부분다양체의 동치류로 전역 유계 조건 ${\cal{Z}}$를 정의하여, 코웨이트 경계의 개념을 일반화한다.
• 전역 아핀 그라스만리안 내의 슈버트 다양체의 전역 기하학을 이용하여 모듈리 스택의 국소 구조와 전역 불변량 간의 관계를 규명한다.
• 고정된 특성 자리 $\nu_i$에서 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 변형 이론을 적용하여, 라포포르트-지크 스타일의 국소 모델 구축이 가능한 국소 ${\mathbb{P}}$-시투카와 연결한다.
• 모듈리 스택으로부터 라포포르트-지크 공간의 곱으로 가는 균일화 사상 $\Theta$를 구성하고, 국소 모델 다이어그램을 유도한다.
• 아핀 슈버트 다양체의 보트-사멜슨-데마르즈 해상법을 적용하여 특수 섹션의 교차 코호몰로지를 분석한다.
• 분해 정리와 사영 동지계 다양체의 세포 구조를 이용하여 모듈리 스택에서의 IC-층의 성질를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 전통적인 코웨이트 경계 접근을 일반화하여 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 모듈리 스택에 대한 전역적 유계 조건을 정의할 수 있는가?
• RQ2 모듈리 스택의 국소 기하학은 어느 정도까지 전역 아핀 그라스만리안 내의 슈버트 다양체에서 기인하는가?
• RQ3 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 변형 이론을 이용하여 샤플러 다양체의 라포포르트-지크 스타일의 국소 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ4 전역 ${\mathfrak{G}}$-시투카의 모듈리 스택의 특수 섹션의 기하학적 구조는 어떻게 되며, 코트위츠-라포포르트 분할은 그 기하학을 어떻게 정교화하는가?
• RQ5 균일화 사상에 의해, 모듈리 스택에서의 교차 코호몰로지 층은 아핀 슈버트 다양체의 곱에서의 층과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 약간의 분기된 ${\mathfrak{G}}$에 대해 모듈리 스택 $\nabla_{n}^{\cal{Z}}{\mathscr{H}}_{D}^{1}(C,{\mathfrak{G}})$ 는 그 반사 링 위에서 평탄함을 보이며, 핵심적인 유한성 성질이 확립된다.
• 모듈리 스택에 대한 코트위츠-라포포르트 분할이 도입되었으며, 뉴턴 다각형에 의한 분할을 정교화한다.
• 특수 섹션의 교차 코호몰로지는 균일화 사상과 분해 정리를 통해 계산되었으며, IC-층은 슈버트 다양체의 곱으로부터 올려진다.
• 모듈리 스택의 IC-층은 국소 모델 다이어그램을 통해 슈버트 다양체의 곱에서의 IC-층의 역상과, 이동과 토글을 제외한 동형이다.
• 국소 모델 다이어그램은 라포포르트-지크 공간의 곱에서 $\prod_i \widehat{Z}_{\nu_i}$로 가는 사상 유도하며, 일반화된 랑글랜드 상호관계를 실현한다.
• 각 $\cal{S}(\omega_i)$의 보트-사멜슨-데마르즈 해상법은 세포 구조를 제공하며, 이는 분해 정리의 지원과 함께 IC-층 계산을 가능하게 한다.