[논문 리뷰] Locally interacting diffusions as space-time Markov random fields

Daniel Lacker, Kavita Ramanan외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 상호작용하는 확산 과정이 국소적으로 유한한 그래프 위에서 시간이 지남에 따라 경로 공간 상에서 제2차 마르코프 무작위장(field) 성질을 유지함을 입증하며, 초기 고갈 측도와 공간-시간 고갈 측도 사이의 전단사 관계를 증명한다. 또한 고갈 유일성(uniqueness)을 입증하여 경로 분포가 초기 조건과 국소 사양에 의해 완전히 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a countable system of interacting (possibly non-Markovian) stochastic differential equations driven by independent Brownian motions and indexed by the vertices of a locally finite graph $G = (V,E)$. The drift of the process at each vertex is influenced by the states of that vertex and its neighbors, and the diffusion coefficient depends on the state of only that vertex. Such processes arise in a variety of applications including statistical physics, neuroscience, engineering and math finance. Under general conditions on the coefficients, we show that if the initial conditions form a second-order Markov random field on $d$-dimensional Euclidean space, then at any positive time, the collection of histories of the processes at different vertices forms a second-order Markov random field on path space. We also establish a bijection between (second-order) Gibbs measures on $(\R^d)^V$ (with finite second moments) and a set of space-time (second-order) Gibbs measures on path space, corresponding respectively to the initial law and the law of the solution to the stochastic differential equation. As a corollary, we establish a Gibbs uniqueness property that shows that for infinite graphs the joint distribution of the paths is completely determined by the initial condition and the specifications, namely the family of conditional distributions on finite vertex sets given the configuration on the complement. Along the way, we establish various approximation and projection results for Markov random fields on locally finite graphs that may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 상호작용하는 확산 과정의 시간적 진화를 경로 공간 상의 마르코프 무작위장으로 특성화하는 것.
• 상태 공간 상의 초기 고갈 측도와 경로 공간 상의 공간-시간 고갈 측도 사이의 엄밀한 대응 관계를 설정하는 것.
• 무한 그래프에서 고갈 유일성 성질을 증명하여 경로 분포가 초기 조건과 국소 사양에 의해 완전히 결정됨을 보이는 것.
• 비마르코프 동역학과 일반적인 상호작용 구조를 가진 무한차원 SDE에 대해 마르코프 무작위장 프레임워크를 확장하는 것.
• 국소적으로 유한한 그래프 상의 마르코프 무작위장에 대한 기본적인 근사 및 투영 결과를 제공하여 주요 정리 외에도 적용 가능한 것.

제안 방법

• 각 정점의 동역학이 이웃 정점의 상태에 의해 드리프트 및 확산 계수를 통해 영향을 받는 국소적으로 유한한 그래프 $G = (V,E)$ 상에서 상호작용하는 SDE의 시스템을 공식화한다.
• 리프시츠 조건과 선형 성장 조건을 만족하는 계수에 대해 이토의 공식과 기르산وف의 정리를 적용하여 약한 해와 경로 유일성을 분석한다.
• 유한 그래프 근사 방법을 사용하여 유한 시스템에서의 결과를 무한 그래프로 확장하며, 확률 측도 수렴과 타이트니스 추론을 활용한다.
• 유한 집합에서의 여집합 조건부 독립성에 의해 경로 공간 $\mathcal{C}_t^V$ 상의 제2차 마르코프 무작위장을 정의한다.
• SDE 해의 법칙을 핵심 구성 요소로 사용하여 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 상의 제2차 고갈 측도와 $\mathcal{C}^V$ 상의 공간-시간 고갈 측도 사이의 전단사 관계를 구성한다.
• 선형 성장 조건을 만족하는 점진적으로 가측인 드리프트에 대해 기르산프의 정리를 적용할 수 있음을 정당화하여, 돌레앙-돌레앙 지수가 진정한 마르팅갈임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 유한한 그래프 상에서 상호작용하는 SDE 시스템의 해가 경로 공간 상에서 제2차 마르코프 무작위장 성질을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 상태 공간 상의 초기 고갈 측도와 경로 공간 상의 공간-시간 고갈 측도 사이에 일대일 대응 관계를 설정할 수 있는가?
• RQ3 경로 과정의 공동 법칙이 유한 부분집합에서의 초기 조건과 국소 사양에 의해 어느 정도 결정되는가?
• RQ4 유한 그래프 근사는 무한 그래프 극한에서 마르코프 무작위장 성질과 고갈 유일성을 증명하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이러한 무한 시스템에서 경로 유일성과 약한 해 존재성을 보장하기 위한 드리프트 및 확산 계수에 대한 충분한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 초기 조건이 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 상의 제2차 마르코프 무작위장이라면, 임의의 $t > 0$에 대해 궤적의 집합 $(X_v[t])_{v \in V}$ 는 경로 공간 $\mathcal{C}_t^V$ 상의 제2차 마르코프 무작위장을 이룬다.
• 유한한 두 번째 모멘트를 가진 $({\mathbb{R}}^d)^V$ 상의 제2차 고갈 측도와 $\mathcal{C}^V$ 상의 공간-시간 고갈 측도 사이에 전단사 관계가 존재하며, 이는 초기 법칙과 SDE 해의 법칙을 연결한다.
• 고갈 유일성 성질이 성립한다: 무한 그래프에서는 SDE 시스템의 법칙이 초기 조건과 유한 정점 집합에서 여집합 조건부 분포의 가족에 의해 완전히 결정된다.
• 초기 분포가 주어진 사양에 대해 유일한 제2차 고갈 측도라면, 임의의 $t > 0$에서의 해 법칙은 해당 사양에 대해 경로 공간 상의 유일한 제2차 고갈 측도이다.
• 유한 그래프 근사를 통해 무한 설정에서의 마르코프 무작위장 성질을 증명하며, 확률 측도 수렴과 타이트니스로 인해 극한이 성질을 그대로 이어받는다.
• 경로 유일성의 증명은 드리프트 및 확산 계수에 대한 리프시츠 조건 하에서 이토의 공식과 그론월의 부등식에 기반하며, 이는 약한 해의 유일성을 보장한다.