[논문 리뷰] Lossless convexification of non-convex optimal control problems with disjoint semi-continuous inputs

Danylo Malyuta, Michael Szmuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 입력 노름이 0이거나 유계 구간 내에 있는 분리된 준연속 입력을 가진 혼합정수최적제어문제에 대한 손실 없는 볼록화 방법을 제시한다. 비볼록 문제를 볼록 2차원원형프로그램(SOCP)으로 완화함으로써, 다항시간 내에 전역 최적해를 보장하며, 우주선 도킹 예제에서 혼합정수계획법보다 거의 세 자리수 빠른 계산 시간을 달성한다.

ABSTRACT

This paper presents a convex optimization-based method for finding the globally optimal solutions of a class of mixed-integer non-convex optimal control problems. We consider problems that are non-convex in the input norm, which is a semi-continuous variable that can be zero or lower- and upper-bounded. Using lossless convexification, the non-convex problem is relaxed to a convex problem whose optimal solution is proved to be optimal almost everywhere for the original problem. The relaxed problem can be solved using second-order cone programming, which is a subclass of convex optimization for which there exist numerically reliable solvers with convergence guarantees and polynomial time complexity. This is the first lossless convexification result for mixed-integer optimization problems. An example of spacecraft docking with a rotating space station corroborates the effectiveness of the approach and features a computation time almost three orders of magnitude shorter than a mixed-integer programming formulation.

연구 동기 및 목표

• 실시간 응용에 적합하지 않을 정도로 매우 느린, NP-완전인 혼합정수비볼록 최적제어 문제의 계산 비효율성 문제를 해결한다.
• 다중 입력이 동시에 활성화되지 않으며, 준연속 입력 노름을 가진 문제를 해결할 때 혼합정수계획법(MICP)의 한계를 극복한다.
• 분기소거나 반복적 국소해법이 필요 없이 전역 최적성을 보장하는 볼록 최적화 기반 방법을 개발한다.
• 다항시간 수렴을 보장함으로써 우주선 및 로켓과 같은 자율 시스템의 실시간 차량 내 최적화를 가능하게 한다.
• 단일 입력 비볼록 문제에 한정된 손실 없는 볼록화를 다중 입력, 혼합정수 설정으로 확장하여 상호 배타적인 입력 활성화 제약 조건을 갖춘 문제에 적용한다.

제안 방법

• 입력 노름을 준연속적으로 표현하기 위해 이진 변수를 사용하는 제약 조건 $ az \leq x \leq bz $ 를 사용하며, $ z \in \{0,1\} $ 이다.
• 슬랙 변수를 도입하고 최적성 조건을 유지함으로써, 비볼록 혼합정수 문제를 볼록 2차원원형프로그램(SOCP)으로 완화한다.
• 필수 최적성 조건을 사용하여, 완화된 볼록 문제의 최적해가 원래 비볼록 문제의 전역 최적해임을 거의 모든 곳에서 증명한다.
• 입력 이득의 구조와 프라이머 벡터 역학을 활용하여, 원래 비볼록 제약 조건을 만족함을 보장한다.
• 유클리드 투영과 원추각 분석을 사용하여 타당한 입력 집합을 특성화하고, 이득 크기에 기반한 입력 활성화 규칙을 시행한다.
• ECOS와 같은 SOCP 솔버를 통해 구현하며, 다항시간 복잡도를 보장하여 빠른 수렴과 실시간 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 손실 없는 볼록화는 준연속 입력 노름을 가진 다중 입력 최적제어 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ2 혼합정수비볼록 최적제어 문제의 볼록 완화가 원래 문제의 전역 최적성을 유지하는가?
• RQ3 제안된 방법이 일반적으로 NP-완전인 문제에 대해 다항시간 해 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 실용적인 항공우주 제어 문제에서 혼합정수계획법과 비교해 본다면, 속도와 최적성 측면에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 준연속 제약 조건 하에서 최적 입력 정책의 구조는 어떠한가? 그리고 이를 해석적으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 다항시간 내에 혼합정수비볼록 최적제어 문제의 특정 클래스를 전역 최적해로 해결함으로써, 이러한 문제가 실제로 P 복잡도에 속함을 보여준다.
• 회전하는 우주정거장이 있는 우주선 도킹 문제에서, SOCP를 사용해 20초 내에 전역 최적해를 확보했으며, 혼합정수계획법을 사용한 경우 6200초가 소요되었다.
• 최적의 입력 노름은 번갈아가며 활성화되는 '뱅-뱅' 구조를 보이며, 항상 최대 이득을 가진 입력만 활성화됨을 확인하여 이론적 예측을 뒷받침한다.
• 스위칭 경계에서 추진력 크기의 이산화 아티팩트가 관측되었지만, 이는 '거의 모든 곳에서'의 최적성 보장와 일관되며 전역 최적성에 영향을 주지 않는다.
• 다수의 추진기로 구성된 우주선 도킹 예제에서 입역 집합의 분리성과 포인팅 방향의 겹침이 없는 경우에도 이 방법은 강건함을 입증하였다.
• 해결책은 입력 범위 및 상태 역학 제약 조건을 모두 만족하며, 이중 변수 역학은 최적의 입력 활성화 패턴을 확인한다.