[논문 리뷰] Low Mach number limit of some staggered schemes for compressible barotropic flows

Raphaèle Herbin, J.‐C. Latché외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 26.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 60인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 압축성 바로트ropic 라우르-스톡스 유동에 대해 시간에 대해 암시적이고, 두 가지 반복이 없는 압력 보정 방법을 포함한 세 가지 스테거드 유한체적 스킴이 마흐 수 ε → 0 일 때 점점 가까워지는 성질을 엄밀히 증명한다. 스킴들은 압축성 없는 흐름의 일致한 이산화된 형태로 수렴하며, 메쉬에 의존하는 CFL 조건 하에 ε에 관계없이 안정성과 엔트로피 추정이 유지되어 모든 마흐 수 범위에서 강건함을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the behaviour at low Mach number of numerical schemes based on staggered discretizations for the barotropic Navier-Stokes equations. Three time discretizations are considered: the implicit-in-time scheme and two non-iterative pressure correction schemes. The last two schemes differ by the discretization of the convection term: linearly implicit for the first one, so the resulting scheme is unconditionnally stable, and explicit for the second one, so the scheme is stable under a CFL condition involving the material velocity only. We rigorously prove that these three variants are asymptotic preserving in the following sense: for a given mesh and a given time step, a sequence of solutions obtained with a sequence of vanishing Mach numbers tend to a solution of a standard scheme for incompressible flows. This convergence result is obtained by mimicking the proof already known in the continuous case.

연구 동기 및 목표

• 소리파의 강성으로 인해 저마흐 수에서 표준 압축성 흐름 스킴에서 발생하는 수치적 불안정성과 정확도 손실 문제를 다루기.
• 압축성 바로트로픽 라우르-스톡스 방정식에 대한 스테거드 유한체적 스킴이 압축성 한계(ε → 0)에서도 유효하고 일致함을 입증하기.
• 세 가지 시간 이산화 변형—시간에 대해 암시적이고, 두 가지 반복이 없는 압력 보정 방법—이 ε에 관계없이 안정성과 압축성 없는 해로의 수렴을 유지함을 증명하기.
• 이산 엔트로피 추정과 에너지 바운드가 모든 마흐 수 범위에서 균일하게 유효하며, ε → 0 일 때 악화되지 않도록 보장하기.
• 연속적인 저마흐 수 한계를 모방하는 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공하여, 이산 케이스에 대해 이산 기능 해석과 메쉬에 의존하는 안정성 조건을 사용하기.

제안 방법

• 속도와 압력에 대해 Crouzeix-Raviart 및 Rannacher-Turek 유한요소를 사용한 스테거드 유한체적 이산화를 적용하여 적절한 이산 인프-서프 호환성을 확보하기.
• 세 가지 시간 이산화 스킴을 적용: 시간에 대해 완전히 암시적인 하나와, 대류항 처리 방식이 다른 두 가지 반복이 없는 압력 보정 방법—선형적으로 암시적이고 완전히 명시적.
• 이산 에너지 추정을 유도하고, hT^(1+d/2)를 포함한 시간 단계 제약 조건 하에 ε에 대해 균일하게 유한한 총 이산 에너지가 유지됨을 증명하기.
• 메쉬 정규성과 초기 자료의 유계성에 따라 조정된 수정된 CFL 조건을 바탕으로, ε에 대해 균일하게 성립하는 이산 엔트로피 부등식 (7.15) 수립하기.
• 역부등식과 메쉬 정규성 측도(θT)를 사용하여 L2 노름으로 표현되는 속도와 밀도의 L∞ 노름을 유계화하여 ε에 의존하지 않는 추정 가능하게 만들기.
• 시간 단계에 기반한 귀납법 증명을 수행하여, 시간 n에서 에너지 및 플럭스 유계성이 성립할 경우, ε에 관계없이 독립적인 시간 단계 조건 하에 시간 n+1로 전파됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 바로트로픽 흐름에 대한 스테거드 유한체적 스킴이 마흐 수 ε → 0 일 때 안정성과 압축성 없는 해로의 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ2 이산 에너지와 엔트로피가 모든 마흐 수 범위에서, 특히 저마흐 영역에서 균일하게 유계로 유지되는가?
• RQ3 명시적 또는 선형적으로 암시적인 대류항을 가진 반복이 없는 압력 보정 스킴이 점점 가까워지는 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 안정성에 필요한 시간 단계 제약이 ε에 독립적인가? 이는 저마흐 수 영역에서의 강건성을 보장한다.
• RQ5 이산 스킴이 연속적인 저마흐 수 한계를 모방하는가? 즉, 압축성 해가 압축성 없는 해로 수렴하는가?

주요 결과

• 시간에 대해 암시적이고, 두 가지 압력 보정 변형을 포함한 세 스킴은 점점 가까워지는 성질을 가진다: ε → 0 일 때 일致한 이산 압축성 없는 라우르-스톡스 스킴으로 수렴한다.
• CFL 조건 δt ≤ C(d, θT, C0) hT^(1+d/2) 하에 ε에 대해 균일하게 성립하는 이산 전역 엔트로피 추정 (7.15)이 유지된다.
• 시간 단계 제약는 전통적인 CFL 조건보다 더 엄격하지만, ε에 의존하지 않는 안정성과 에너지 유계를 보장한다.
• 에너지와 엔트로피는 모든 마흐 수 범위에서 균일하게 유계이며, 그 유계는 초기 자료와 메쉬 정규성 θT에만 의존한다.
• 유도된 CFL 조건 하에, 속도의 L2 노름과 1에서의 밀도 편차는 ε에 대해 균일하게 제어되며, 이는 압축성 행동으로의 수렴을 보장한다.
• 증명은 귀납법과 역부등식에 기반하며, 시간 n에서 유계성이 성립할 경우, 제시된 시간 단계 조건 하에 시간 n+1로 전파됨을 보여준다.