[논문 리뷰] Martingale driven BSDEs, PDEs and other related deterministic problems

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 càdlàg 마르팅게일과 마르코프 과정에 의해 구동되는 백터드 슈티르케르 방정식(BSDEs)의 새로운 클래스를 제안하며, 관련된 가짜-편미분방정식(pseudo-PDEs)의 분리된 온건한 해에 대한 확률적 표현을 수립한다. 주요 기여는 성장 조건과 리프시츠 조건 하에서 이러한 해의 존재성과 유일성을 증명함으로써, 기존의 BSDE-PDE 연관관계를 비확산성이고 점프 유형의 마르코프 과정으로 확장하는 것이다. 이는 마르팅게일 문제 프레임워크를 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We focus on a class of BSDEs driven by a cadlag martingale and corresponding Markov type BSDE which arise when the randomness of the driver appears through a Markov process. To those BSDEs we associate a deterministic problem which, when the Markov process is a Brownian diffusion, is nothing else but a parabolic type PDE. The solution of the deterministic problem is intended as decoupled mild solution, and it is formulated with the help of a time-inhomogeneous semigroup.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 확산 과정이 아닌 비연속적인 점프 유형 또는 일반적인 마르코프 과정에 대해 고전적인 BSDE-PDE 대응관계를 확장하기 위해, càdlàg 마르팅게일에 의해 구동되는 새로운 클래스의 BSDEs를 도입한다.
• 비확산적 설정에서 볼륨 솔루션의 한계를 해결하기 위해, 가짜-편미분방정식(pseudo-PDEs)에 대한 분리된 온건한 해의 개념을 도입한다.
• 마르팅게일 문제 설정 하에서 마르코프 BSDEs를 통해 결정론적 해의 확률적 표현을 수립한다.
• 계수의 적절한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서, 제어된 성장 조건을 만족하는 보렐 함수들 사이에서 분리된 온건한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

제안 방법

• 연속적인 증가 과정 $\hat{V}$, 제곱-integrable 마르팅게일 $\hat{M}$, 종료 조건 $\xi$, 그리고 드라이버 $\hat{f}$에 의해 구동되는 일반적인 BSDE를 수립하며, 해는 $Y = \xi + \int \hat{f}(r, \cdot, Y_r, d\langle M, \hat{M}\rangle/d\hat{V}_r) d\hat{V}_r - (M_T - M_\cdot)$ 로 표현된다.
• 생성자 $a$와 증가 과정 $V$를 가진 마르코프 과정 $X$를 도입하여, 마르팅게일 문제를 해결함으로써 $\phi \in \mathcal{D}(a)$에 대해 $M[\phi]^{s,x}$ 가 $\mathbb{P}^{s,x}$-마르팅게일임을 보장한다.
• 제어된 성장 조건을 만족하는 보렐 함수 공간 위에서 피카르 반복 스킴을 정의하며, $Z$-성분과 해의 기울기 사이의 관계를 나타내는 연산자 $\mathfrak{G}^\psi$를 사용한다.
• $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$-공간에서 고정점 정리를 적용하여 반복 수열의 수렴성을 증명함으로써, 분리된 온건한 해 $u$를 도출한다.
• 해 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$ 가 보렐 함수임을 증명하고, $\mathbb{P}^{s,x}$ 하에서 거의 확실히 BSDE 표현을 만족함을 보장한다.
• 마르팅게일 표현 정리와 생성자 $a$의 구조를 활용하여, 드라이버의 $d\langle M, M[\psi]\rangle/dV$ 의존성과 $\mathfrak{G}^\psi$ 를 통한 해의 기울기 사이의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 과정이 확산이 아닌 일반적인 점프를 포함하는 마르코프 과정일 경우, 비선형 편미분방정식의 해에 대한 확률적 표현을 수립할 수 있는가?
• RQ2 비확산적 설정에서 비교 원리가 실패할 경우, 볼륨 솔루션 개념을 어떻게 대체하거나 확장할 수 있는가?
• RQ3 비마르코프 또는 비연속적인 설정에서 BSDE의 $Z$-성분과 해의 기울기 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 어떤 조건 하에서, càdlàg 마르팅게일에 의해 구동되는 BSDE를 통한 분리된 온건한 해가 존재하고 유일하게 표현될 수 있는가?
• RQ5 가짜-편미분방정식의 해는 확률적 프레임워크에서 피카르 반복 수열의 극한으로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 주어진 가정 하에 다항식 성장 조건을 만족하는 보렐 함수들 사이에서 관련된 가짜-편미분방정식(pseudo-PDE)의 분리된 온건한 해 $u$의 존재성과 유일성을 수립한다.
• 해 $u(s,x)$ 는 $\mathbb{P}^{s,x}$ 하에서 마르코프 BSDE의 해의 초기값인 $Y^{s,x}_s$ 로 특징지어지며, 이는 확률적 표현을 제공한다.
• BSDE의 $Z$-성분은 $\mathfrak{G}^\psi(u)$ 로 표현되며, 이는 확산 케이스에서의 기울기 $\sigma \nabla_x u$ 를 일반화한 것이다.
• 피카르 반복 수열 $u_k$ 가 $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$ 에서 수렴함을 증명하여, 해가 확률적 의미에서 잘 정의되어 있음을 보장한다.
• 드라이버 $f$ 가 $f(\cdot, \cdot, 0, 0)$ 과 리프시츠 상수들이 $\mathcal{L}^2_X$ 에 속할 경우, 고정점 정리를 위한 적분 가능성 조건이 확보됨을 보여준다.
• 극한 $\bar{u} = \limsup u_k$ 는 드라이버 $f(r, X_r, \bar{u}(r,X_r), v(r,X_r))$ 와 함께 BSDE를 만족함을 확인하여, $\bar{u}$ 가 결정론적 문제의 해임을 확인한다.