[논문 리뷰] $\mathsf{L}^1$-elliptic regularity and $H=W$ on the whole $\mathsf{L}^p$-scale on arbitrary manifolds

Davide Guidetti, Batu Güneysu외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 12.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 헤르미트 벡터(bundle)를 지닌 비콤팩트 다성분 위의 전체 $\mathsf{L}^p$-스케일에서 $\mathsf{L}^1$-타원형 정규성과 $H=W$ 성질을 수립한다. 일반화된 타원형 조건 하에서 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}$-공간에 미분 가능 섹션의 조밀성(밀도)을 증명하며, $p=1$인 경우에 대해 보소프 공간에서의 새로운 국소 정규성 결과를 통해 $p>1$과 비교해 한 계수를 잃는다는 점을 고려하여, 메이어스-세르린 정리의 일반화된 기하학적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We define abstract Sobolev type spaces on $\mathsf{L}^p$-scales, $p\in [1,\infty)$, on Hermitian vector bundles over possibly noncompact manifolds, which are induced by smooth measures and families $\mathfrak{P}$ of linear partial differential operators, and we prove the density of the corresponding smooth Sobolev sections in these spaces under a generalized ellipticity condition on the underlying family. In particular, this implies a covariant version of Meyers-Serrin q{}s theorem on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, for arbitrary Riemannian manifolds. Furthermore, we prove a new local elliptic regularity result in $\mathsf{L}^1$ on the Besov scale, which shows that the above generalized ellipticity condition is satisfied on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, if some differential operator from $\mathfrak{P}$ that has a sufficiently high (but not necessarily the highest) order is elliptic.

연구 동기 및 목표

• 임의의 리만 다성분과 헤르미트 벡터(bundle)에 대해 $\mathsf{L}^p$-스케일 위에서 추상적 $\mathfrak{P}$-소볼레프 공간을 정의함으로써 메이어스-세르린 정리를 일반화한다.
• 일반화된 타원형 조건 하에서 이러한 추상 소볼레프 공간 내에서 미분 가능 섹션의 조밀성을 확립함으로써, 비콤팩트 및 기하학적으로 복잡한 설정으로 고전 결과를 확장한다.
• 표준적인 타원형 정규성 기법이 실패하는 $\mathsf{L}^1$-경우를 해결하기 위해, 타원형 연산자가 최대 차수 $k$를 가질 경우 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}$-함수는 $k-1$계수의 국소 $L^1$-정규성을 확보함을 보여주는 새로운 보소프 공간 내 국소 정규성 결과를 증명한다.
• 리만 다성분 위의 연산자에 대한 코바리언트 도함수로 정의된 $\mathsf{W}^{k,p}$-공간이 요구되는 국소 정규성을 만족함을 보여, 타원형 조건 없이도 $H=W$ 결과를 도출할 수 있음을 밝힌다.

제안 방법

• 헤르미트 벡터(bundle)를 지닌 다성분 위에서 선형 미분 연산자 가중치 $\mathfrak{P}$와 미분형 측도 $\mu$를 사용하여 추상적 $\mathfrak{P}$-소볼레프 공간 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$를 도입한다.
• 국소 정규성 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,p}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$가 성립할 경우, $\mathfrak{P}$-소볼레프 공간 내에서 미분 가능 섹션의 조밀성을 보여주는 핵심 추상 결과(정리 2.9)를 수립한다.
• $p=1$인 경우에 대해 보소프 공간 내에서 새로운 국소 타원형 정규성 결과를 증명하며, 차수 $k$의 연산자가 타원형인 경우 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}$-함수는 $p>1$의 경우에 비해 한 계수를 잃어 $\mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}$에 속함을 보여준다.
• 다중성 기반의 해 존재성/유일성 결과(보조정리 A.3)를 활용하여 모델 방정식이 $\mathsf{B}^{\beta+n}_{p,p}$ 및 $\mathsf{B}^{\beta+n}_{\infty,\infty}$ 내에서 해를 가짐을 보이며, 이는 쌍대성 원리와 약한 컴actsity를 이용한다.
• 보소프 공간의 보간 및 경계 성질을 적용하여 $p>1$에서의 결과를 $p=1$으로 확장하고 전체 $\mathsf{L}^p$-스케일을 다룬다.
• 코바리언트 도함수를 사용하는 리만 다성분에 대해 추상 프레임워크를 적용하여 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$를 증명하며, 이는 타원형 조건 없이도 $H=W$ 결과를 도출할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 다성분 위의 $\mathfrak{P}$-소볼레프 공간에서 미분 가능 섹션의 조밀성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $p=1$일 때 고전적 국소 추정이 실패하는 상황에서 $\mathsf{L}^1$-타원형 정규성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 타원형 시스템 하에서 $\mathsf{L}^1$-소볼레프 함수의 정규성 획득 정도는 정확히 무엇이며, $p>1$의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 비콤팩트성이나 완전한 타원형 조건을 가정하지 않고도 메이어스-세르린 정리를 일반 리만 다성분과 벡터(bundle)로 확장할 수 있는가?
• RQ5 코바리언트 도함수로 정의된 소볼레프 공간이 비콤파크트 다성분에서 $H=W$ 성질을 얼마나 잘 만족하는가?

주요 결과

• 일반화된 타원형 조건이 성립할 경우, $\Gamma_{\mathsf{C}^\infty_{\mathrm{c}}}(X,E) \cap \Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$는 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ 내에서 조밀하다. 이는 최대 차수 $k$를 가진 연산자가 타원형인 경우 $\mathsf{L}^1$-경우에도 성립한다.
• $p=1$일 때, 최대 차수 $k$를 가진 어떤 $P_j$가 타원형인 경우 국소 정규성 조건 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$가 성립하며, 이는 반례를 통해 최적임을 입증한다.
• 보소프 공간 내에서의 새로운 국소 타원형 정규성 결과는 $\mathsf{L}^1$-소볼레프 함수가 $p>1$의 경우보다 한 계수를 잃어, 타원형 최대 차수 연산자가 성립할 경우 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1} \subset \mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}$임을 보여준다.
• 추상 결과(정리 2.9)는 최적이다. 타원형이 아닌 연산자 $P$가 존재하여 $q>1$일 때 $\mathsf{W}^{P,q}$가 $\mathsf{W}^{\mathrm{ord}(P)-1,q}_{\mathrm{loc}}$에 포함되지 않으며, $\mathsf{C}^\infty \cap \mathsf{W}^{P,q}$가 $\mathsf{W}^{P,q}$에 조밀하지 않음을 보여준다.
• 모든 리만 다성분 $(M,g)$에서 코바리언트 도함수로 정의된 소볼레프 공간 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E)$는 $p \in (1,\infty)$일 때 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$에 포함되며, 이는 타원형 조건 없이도 $H=W$ 성질을 만족함을 의미한다.
• 보소프 공간 내에서 특정 타원형 시스템의 해 존재성 및 유일성(보조정리 A.3)은 쌍대성 및 약한 컴팩트니를 통해 확립되며, 이는 $\mathsf{L}^1$-정규성 결과를 증명하는 데 핵심적이다.