[논문 리뷰] Meshless physics-informed deep learning method for three-dimensional solid mechanics

Diab Abueidda, Qiyue Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 02.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 83인용 수 154

한 줄 요약

이 논문은 메쉬 생성이나 데이터 생성이 필요 없이 고체 역학 분야의 3차원 편미분방정식(PDE)을 해결하는 메쉬프리 물리 기반 딥 러닝 방법인 딥 콜로케이션 방법(DCM)을 제안한다. 강형식 PDE와 경계 조건을 콜로케이션을 통해 만족시키도록 딥 네ural 네트워크를 훈련시킴으로써, 등방성 및 운동 경화를 포함한 선형 탄성, 초탄성, 비탄성성에 대해 정확하고 실시간으로 해를 구할 수 있다.

ABSTRACT

Deep learning and the collocation method are merged and used to solve partial differential equations describing structures' deformation. We have considered different types of materials: linear elasticity, hyperelasticity (neo-Hookean) with large deformation, and von Mises plasticity with isotropic and kinematic hardening. The performance of this deep collocation method (DCM) depends on the architecture of the neural network and the corresponding hyperparameters. The presented DCM is meshfree and avoids any spatial discretization, which is usually needed for the finite element method (FEM). We show that the DCM can capture the response qualitatively and quantitatively, without the need for any data generation using other numerical methods such as the FEM. Data generation usually is the main bottleneck in most data-driven models. The deep learning model is trained to learn the model's parameters yielding accurate approximate solutions. Once the model is properly trained, solutions can be obtained almost instantly at any point in the domain, given its spatial coordinates. Therefore, the deep collocation method is potentially a promising standalone technique to solve partial differential equations involved in the deformation of materials and structural systems as well as other physical phenomena.

연구 동기 및 목표

• 고체 역학 분야의 PDE를 해결하기 위한 유한요소법(FEM)의 메쉬프리 대안을 개발하기 위해.
• 일반적으로 데이터 기반 모델의 성능 저하 요인인 FEM 등의 전통적 수치 해법을 통한 데이터 생성이 필요 없도록 하기 위해.
• 단일 훈련된 딥 네럴 네트워크를 통해 변위장 및 응력장의 빠른 실시간 추론을 가능하게 하기 위해.
• 대변형 및 경화를 포함한 복잡한 재료 거동으로까지 물리 기반 딥 러닝을 확장하기 위해.
• 3차원에서 다양한 물성 모델에 대해 딥 콜로케이션 방법의 실현 가능성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 강형식 PDE의 변위장을 근사하기 위해 딥 네럴 네트워크(DNN)를 사용한다.
• 손실 함수는 강형식 PDE 잔여항, 경계 조건(필수 및 자연 경계 조건)에서 유도되며, Adam 및 L-BFGS와 같은 최적화 기법을 통해 최소화된다.
• 자동 미분를 통해 변위장의 기울기를 계산함으로써 변형률, 응력 및 내부 변수를 평가할 수 있다.
• 세 가지 물성 모델에 적용된다: 선형 탄성, 뉴-후크 초탄성, 등방성 및 운동 경화를 포함한 보넨-미eses 비탄성성.
• 경로 의존성 비탄성성 문제를 위해 의사 시간 스텝 방식을 사용하며, 단계 간 상태 변수를 유지한다.
• 콜로케이션 점의 샘플링은 몬테카를로 방법을 통해 수행되며, 내부 영역, 변위 경계, 인장력 경계에 대해 별도의 집합을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리 기반 딥 러닝 방법이 FEM 또는 기타 수치 해법을 통한 데이터 생성 없이 3차원 고체 역학 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 강형식 PDE와 경계 조건만을 사용하여 딥 네럴 네트워크가 선형 탄성, 초탄성, 비탄성성 문제의 해를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ3 복잡한 경화 거동을 포함한 다양한 재료 모델에 대해 딥 콜로케이션 방법이 정확성과 효율성을 유지하는가?
• RQ4 샘플링 전략 및 최적화 기법이 3차원 문제에서 DCM의 수렴성과 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 재학습이나 재샘플링 없이도 비탄성성과 같은 경로 의존 문제를 다룰 수 있는가?

주요 결과

• DCM은 선형 탄성, 초탄성, 비탄성성에 대해 FEM 해와 정성적·정량적으로 일치하는 결과를 도출하였다.
• C = 0.2 m 인 비탄성 케이스에서 DCM은 수직 변위, 보넨-미eses 응력, 비탄성 변형률 성분을 FEM 결과와 매우 유사하게 예측하였다.
• 훈련 후에 어떤 공간적 점에서든 거의 즉각적인 해 추론이 가능하여, 고비용 재시뮬레이션을 피할 수 있었다.
• 자동 미분의 활용으로 메쉬 기반 통합 없이도 정확한 기울기 및 응력장 계산이 가능하였다.
• 메쉬 생성 및 탄성 매트릭스 조립 과정을 피함으로써 FEM에서 흔히 발생하는 계산 오버헤드를 줄였다.
• 본 연구는 물리 기반 딥 러닝이 데이터 기반 미리 훈련 없이도 복잡한 고체 역학 문제의 독립적 해법으로 기능할 수 있음을 입증하였다.