[논문 리뷰] Mixed formulation of physics-informed neural networks for thermo-mechanically coupled systems and heterogeneous domains

Ali Harandi, Ahmad Moeineddin외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 09.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 70인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 이질적 고체에서의 정지 열-역학 문제를 위한 물리정보 신경망(PINN)의 혼합 형식을 개발하고, 순차 학습과 결합 학습을 비교하며, 정확도와 효율성을 높이기 위해 엄격한 제약과 매개변수 학습을 도입한다.

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) are a new tool for solving boundary value problems by defining loss functions of neural networks based on governing equations, boundary conditions, and initial conditions. Recent investigations have shown that when designing loss functions for many engineering problems, using first-order derivatives and combining equations from both strong and weak forms can lead to much better accuracy, especially when there are heterogeneity and variable jumps in the domain. This new approach is called the mixed formulation for PINNs, which takes ideas from the mixed finite element method. In this method, the PDE is reformulated as a system of equations where the primary unknowns are the fluxes or gradients of the solution, and the secondary unknowns are the solution itself. In this work, we propose applying the mixed formulation to solve multi-physical problems, specifically a stationary thermo-mechanically coupled system of equations. Additionally, we discuss both sequential and fully coupled unsupervised training and compare their accuracy and computational cost. To improve the accuracy of the network, we incorporate hard boundary constraints to ensure valid predictions. We then investigate how different optimizers and architectures affect accuracy and efficiency. Finally, we introduce a simple approach for parametric learning that is similar to transfer learning. This approach combines data and physics to address the limitations of PINNs regarding computational cost and improves the network's ability to predict the response of the system for unseen cases. The outcomes of this work will be useful for many other engineering applications where deep learning is employed on multiple coupled systems of equations for fast and reliable computations.

연구 동기 및 목표

• 다양한 재료 특성을 갖는 열-탄성 문제를 PINN으로 풀기 위한 동기 부여와 해결 방안을 제시한다.
• 1차 도함수를 사용하고 강형과 약형의 조합을 사용하는 혼합 PINN 형식을 도입한다.
• 정확도와 계산 비용 측면에서 순차 학습과 완전 결합 학습 전략을 비교한다.
• 예측의 타당성과 강건성을 높이기 위해 엄격한 경계 제약을 포함한다.
• 보지 못한 재료 구성을 일반화하는 데 도움을 주는 경량 매개학습 접근법을 제안한다.

제안 방법

• 공간에 따라 변화하는 탄성 상수 및 열 특성을 갖는 정지 열탄성 문제를 형식화하고 대응하는 약형을 도출한다.
• 주요 변수(변위, 온도)와 그 기울기/응력을 각각의 신경망으로 예측하는 혼합 PINN 아키텍처를 채택한다.
• 에너지 기반 및 보존 방정식을 결합한 물리 기반 손실 항을 기계적 및 열장에 대해 정의하고 경계 손실 및 연결 손실을 포함한다.
• 두 가지 학습 전략을 구현한다: 순차적(열 손실과 기계 손실의 교대로 최소화) 및 결합형(모든 손실의 동시 최소화).
• 필요한 양을 계산하기 위해 1차 도함수만 사용하여 전달-유사 매개학습과 엄격한 경계 제약을 통해 물리적 타당성을 강제한다.
• 예측된 응력과 열유속을 구성 관계와 연계하기 위한 엄격한 제약과 연결 손실을 포함하여 사다리꼴점(saddle-point) 문제를 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차 도함수를 사용하는 혼합 PINN 형식이 표준 PINN과 비교했을 때 이질적 영역에서의 열-기계 결합 문제의 정확도를 향상시키는가?
• RQ2 다중 물리 PINN에서 순차 학습과 결합 학습 전략은 정확도와 계산 비용 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 물리적 타당성 및 예측의 강건성에 대한 엄격한 경계 제약과 네트워크 구조의 영향은 무엇인가?
• RQ4 전이 학습에 유사한 매개학습 접근법이 보지 못한 재료 특성으로의 예측을 계산 비용을 줄이면서 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 독립적인 하위 네트워크를 사용하여 변위, 온도 및 관련 플럭스/응력을 예측함으로써 결합된 열-탄성 문제를 해결하는 혼합 PINN 프레임워크를 제안한다.
• 순차 및 결합 두 가지 학습 스킴을 시연하고 그들의 정확도 및 계산 비용 간의 트레이드를 논의한다.
• 1차 형식화와 엄격한 제약이 이질적 영역에서 수렴성과 예측 타당성을 향상시킬 수 있음을 보여준다.
• 계산 비용을 완화하면서 보지 못한 재료 구성에 일반화하기 위한 간단한 매개학습 접근법을 도입한다.
• 재료 이질성(E, ν, k, α의 공간적 변화)을 재료 매개변수를 네트워크 입력에 포함시켜 구성 간 학습을 가능하게 한다는 점을 강조한다.