[논문 리뷰] The mixed deep energy method for resolving concentration features in finite strain hyperelasticity

Jan N. Fuhg, Nikolaos Bouklas|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 15.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 33인용 수 134

한 줄 요약

이 논문은 변형률이 큰 초탄성성에서 미세 구조의 응력 및 변형률 집중 특징을 더 잘 해결할 수 있도록, 변위와 첫 번째 피올라-클라크스트레스 성분을 모두 예측하는 물리 기반 신경망 프레임워크인 혼합 딥 에너지 방법(mDEM)을 제안한다. 응력 출력을 통합함으로써 mDEM는 구멍, 균열, 국부적 하중이 작용하는 경우와 같은 기준 문제에서 유한요소법(FEM) 수준의 정확도를 달성하면서도, 비구조적 훈련 점을 위한 델로이트 기반 통합 기법을 사용하여 응력 및 변위 집중 특징의 해상도를 향상시킨다.

ABSTRACT

The introduction of Physics-informed Neural Networks (PINNs) has led to an increased interest in deep neural networks as universal approximators of PDEs in the solid mechanics community. Recently, the Deep Energy Method (DEM) has been proposed. DEM is based on energy minimization principles, contrary to PINN which is based on the residual of the PDEs. A significant advantage of DEM, is that it requires the approximation of lower order derivatives compared to formulations that are based on strong form residuals. However both DEM and classical PINN formulations struggle to resolve fine features of the stress and displacement fields, for example concentration features in solid mechanics applications. We propose an extension to the Deep Energy Method (DEM) to resolve these features for finite strain hyperelasticity. The developed framework termed mixed Deep Energy Method (mDEM) introduces stress measures as an additional output of the NN to the recently introduced pure displacement formulation. Using this approach, Neumann boundary conditions are approximated more accurately and the accuracy around spatial features which are typically responsible for high concentrations is increased. In order to make the proposed approach more versatile, we introduce a numerical integration scheme based on Delaunay integration, which enables the mDEM framework to be used for random training point position sets commonly needed for computational domains with stress concentrations. We highlight the advantages of the proposed approach while showing the shortcomings of classical PINN and DEM formulations. The method is offering comparable results to Finite-Element Method (FEM) on the forward calculation of challenging computational experiments involving domains with fine geometric features and concentrated loads.

연구 동기 및 목표

• 기존의 PINN 및 DEM이 변형률이 큰 초탄성성에서 미세 구조의 응력 및 변형률 집중 특징을 해결하지 못하는 문제를 해결한다.
• 구멍, 균열과 같은 기하학적 특이점이 존재하는 문제에서 기존의 물리 기반 신경망 접근법의 한계를 극복한다.
• 에너지 기반 딥러닝 방법을 개선하여 고체역학에서의 정방향 및 역방향 문제에 더 강력하고 유연한 프레임워크를 개발한다.
• 비구조적 훈련 점 분포와 호환되는 수치 통합 기법을 도입하여 복잡한 기하학에서의 유연성을 향상시킨다.
• 유한요소법(FEM) 수준의 정확도를 갖는 딥러닝 접근법을 통해 집중 하중과 응력 릿지가 존재하는 어려운 초탄성 문제를 정확하게 해결할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 딥 에너지 방법(DEM)을 확장하여 신경망의 추가 출력으로 첫 번째 피올라-클라크스트레스 텐서 성분을 도입함으로써 혼합 딥 에너지 방법(mDEM)을 구성한다.
• 에너지 최소화 원리에 기반한 손실 함수를 설정하여 시스템의 총 잠재에너지(응력 에너지 및 외부 하중의 일)를 최소화한다.
• 신경망을 사용하여 변위장과 응력장을 동시에 근사하며, 응력장은 변형률 에너지 함수의 변형률 기울기의 도함수로 유도한다.
• 비구조적 훈련 점 집합에서의 정확한 통합을 가능하게 하기 위해 델로이트 삼각분할 기반의 수치 통합 기법을 구현한다. 이는 구멍이나 균열이 존재하는 영역에서 특히 유용하다.
• 필수 경계 조건(변위)은 손실 함수의 페널티 항을 통해 약하게 강제하고, 뉴먼 경계 조건(응력)은 응력 출력을 통해 자연스럽게 근사한다.
• 스토하스틱 경사 하강법을 사용하여 에너지 기반 손실 함수를 최소화하도록 네트워크를 훈련시키며, 자동 미분을 통해 에너지 항목에 필요한 일阶 도함수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 응력 및 변위장을 모두 예측하는 물리 기반 신경망 프레임워크가 변형률이 큰 초탄성성에서 PINN나 DEM보다 응력 집중 특징을 더 정확하게 해결할 수 있는가?
• RQ2 신경망 출력으로 응력 성분을 포함함으로써 뉴먼 경계 조건과 국소 응력장의 근사가 어떻게 향상되는가?
• RQ3 델로이트 기반 통합 기법이 구멍이나 균열이 존재하는 복잡한 기하학적 영역의 비구조적 훈련 점 분포를 효과적으로 처리할 수 있는가?
• RQ4 mDEM이 기하학적 특이점과 집중 하중이 존재하는 문제에서 FEM 수준의 해상도 정확도를 얼마나 달성하는가?
• RQ5 국소 특징의 해상도가 향상된 만큼 mDEM은 초탄성성에서 역방향 문제 및 매개변수 추정에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• mDEM는 모든 테스트 케이스(일방 인장, 국부적 인장력, 원형 구멍이 있는 빔 포함)에서 FEM 수준의 응력 및 변형률장 해상도를 달성한다.
• PINN와 DEM과 달리, mDEM은 원형 구멍이 있는 빔 케이스에서처럼 기하학적 불연속성 부근의 응력 집중을 성공적으로 포착한다.
• 델로이트 기반 통합 기법은 비구조적 훈련 점 집합에서도 안정적이고 정확한 에너지 평가를 가능하게 하여, 구조적 격자가 없는 복잡한 영역에 mDEM를 적용할 수 있도록 한다.
• PINN와 DEM은 잔여항 최소화 및 저차 도함수 근사에 의존함으로써 고응력 기울기 영역에서 국소 응력 특징을 해결하는 데 상당한 오차를 보인다.
• mDEM의 손실 함수는 초기 포화 없이 안정적으로 수렴하여 PINN가 국소 최소값에서 정체되는 것과 비교해 더 나은 최적화 행동을 보인다.
• mDEM이 직접 응력장을 예측할 수 있다는 점은 특히 국부적 하중 조건에서 뉴먼 경계 조건 강제의 정확도를 높인다.