[논문 리뷰] Miller-Abrahams random resistor network, Mott random walk and 2-scale homogenization

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 09.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2스케일 호모지네이션을 사용하여 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 거의 확실한 균질화를 확립하며, 그 무한체적 전도도가 효과적인 확산 행렬 $D$에 의해 지배됨을 증명한다. 이 $D$는 모트 무작위 보행의 한계 확산 행렬과 일치하며, 저온에서의 전도도 감쇠에 대한 물리적 모트 법칙을 확인한다. 또한 $D$에 대한 변분 특성화를 제공하여 저항망 모델에 대한 엄밀한 경계를 확장한다.

ABSTRACT

The Miller-Abrahams (MA) random resistor network is given by a complete graph on a marked simple point process with edge conductivities depending on the marks and decaying exponentially in the edge length. As Mott random walk, it is an effective model to study Mott variable range hopping in amorphous solids as doped semiconductors. By using 2-scale homogenization we prove that a.s. the infinite volume conductivity of the MA resistor network is given by an effective homogenized matrix $D$. Moreover $D$ admits a variational characterization and equals the limiting diffusion matrix of Mott random walk. This result clarifies the relation between the two models and it also allows to extend to the MA resistor network the existing bounds on $D$ in agreement with the physical Mott law [12,14]. The latter concerns the low temperature stretched exponential decay of conductivity in amorphous solids. The techniques developed here can be applied to other models, as e.g. the random conductance model [11], without ellipticity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 무한체적 극한에서 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 엄밀한 호모지네이션을 확립하는 것.
• 밀러-아브라함스 저항망과 모트 무작위 보행 간의 연결을 명확히 하여 둘이 동일한 한계 확산 행렬 $D$를 공유함을 보이는 것.
• 효과적인 전도도 행렬 $D$에 대한 변분 특성화를 유도하고, 이가 저온에서의 전도도 감쇠에 대해 모트 법칙을 만족함을 검증하는 것.
• 기존의 모트 무작위 보행에 대한 $D$에 대한 엄밀한 경계를 밀러-아브라함스 저항망 모델로 확장하여 물리적 기대와의 일致를 확인하는 것.
• 타원성 조건 없이 일반적인 무작위 저항망에 적용 가능한 2스케일 수렴 기반의 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 무작위로 표시된 단순 점 과정 위에서 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 전기 전도도를 분석하기 위해 2스케일 호모지네이션 기법을 사용한다.
• 2스케일 수렴을 적용하여 대규모 시스템 크기의 극한에서 효과적인 전도도 행렬 $D$를 유도한다.
• 시스템의 에너지 함수로부터 유도된 $D$의 변분 특성화에 의존한다.
• 무작위 측도 $\nu^\varepsilon$에 대한 $L^2$에서의 약한 극한을 통해 전기 잠재력 및 전류 장의 수렴을 확립한다.
• 내부 노드에서의 수렴 자유 조건과 전류 장의 반대칭성을 활용하여 네트워크 전류 균형을 단순화한다.
• 공간 거리와 에너지 마크에 따라 의존하는 무작위이고 장거리 전도도를 다루기 위해 2스케일 수렴 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 무한체적 전도도는 거의 확실하게 결정적인 효과적인 행렬 $D$로 수렴하는가?
• RQ2 저항망의 효과적인 행렬 $D$는 모트 무작위 보행의 한계 확산 행렬과 동일한가?
• RQ3 저항망 모델의 맥락에서 $D$에 대한 변분 특성화를 엄밀히 도출할 수 있는가?
• RQ4 모트 무작위 보행에 대해 도출된 $D$의 경계가 밀러-아브라함스 저항망으로 확장되어 전도도 감쇠에 대한 모트 법칙을 확인하는가?
• RQ5 타원성 조건 없이 2스케일 호모지네이션을 무작위 저항망에 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 무한체적 전도도는 거의 확실하게 $D \cdot \rho$로 수렴한다. 여기서 $D$는 결정적인 효과적인 행렬이고, $\rho$는 평균 점 밀도이다.
• 효과적인 행렬 $D$는 모트 무작위 보행의 한계 확산 행렬과 정확히 일치하며, 두 모델 간의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.
• 행렬 $D$는 변분 특성화를 갖는다. 이를 통해 모트 법칙과 일치하는 상한 및 하한 경계를 도출할 수 있다.
• $D$의 경계는 모트 법칙이 예측하는 능선 지수 감쇠와 일치한다: $d \geq 2$일 때 $D(\beta) \sim \exp\bigl(-c\,\beta^{\frac{1+\alpha}{\alpha+d+1}}\bigr)$.
• 이곳에서 개발된 2스케일 호모지네이션 프레임워크는 전도도에 대한 타원성 조건이 필요 없는 일반적인 무작위 저항망에 적용 가능하다.
• 결과는 전기 잠재력으로까지 확장되어 동일한 스케일링 하에서 조화 극한으로의 호모지네이션을 보여준다.