[논문 리뷰] Model Predictive Control using MATLAB

Midhun T. Augustine|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 01.

Advanced Control Systems OptimizationEngineering인용 수 3

한 줄 요약

이 튜토리얼은 MATLAB를 사용한 모델 예측 제어(MPC)에 대한 종합적인 소개를 제공하며, 선형 MPC(LMPC)와 비선형 MPC(NMPC)를 수치적 구현을 통해 다룹니다. 최적화 문제의 수식화, 제약 조건 처리, 타당성, 리아푸노프 분석을 통한 안정성 및 최적성에 대해 기술하며, 다양한 시스템 유형에 대한 구현 및 검증을 위한 실질적인 MATLAB 코드를 제공합니다.

ABSTRACT

This tutorial consists of a brief introduction to the modern control approach called model predictive control (MPC) and its numerical implementation using MATLAB. We discuss the basic concepts and numerical implementation of the two major classes of MPC: Linear MPC (LMPC) and Nonlinear MPC (NMPC). This includes the various aspects of MPC such as formulating the optimization problem, constraints handling, feasibility, stability, and optimality.

연구 동기 및 목표

• 연구자 및 실무자 대상으로 MATLAB를 활용한 모델 예측 제어(MPC)에 대한 체계적인 튜토리얼을 제공하기 위해.
• 이론적 MPC 개념과 실용적 수치 구현 간의 다리를 놓기 위해, 선형 및 비선형 MPC에 중점을 두어.
• 사용자가 제약 조건, 타당성, 안정성 및 최적성의 적절한 처리를 포함해 MPC 알고리즘을 구현할 수 있도록 하기 위해.
• 학습 및 실험을 지원하기 위해 LMPC 및 NMPC에 대한 접근 가능한 MATLAB 코드 예제를 제공하기 위해.
• 예측 및 제어 시간 간격, 종단 제약 조건 및 가중치 행렬을 포함한 최적화 문제의 수식화 과정을 안내하기 위해.

제안 방법

• 시스템 모델과 현재 상태를 기반으로 유한 시간 간격 동안 미래 행동을 예측하는 방식으로, 수축 시간 영역 최적화 문제로 MPC를 수립합니다.
• 예측된 상태 및 제어 입력에 의존하는 비용 함수를 설정하고, MATLAB의 수치 해소자기를 사용해 최적화합니다.
• 볼록 최적화 문제(QP, LP)와 비볼록 최적화 문제(NLP)를 해결하여 선형 MPC(LMPC)와 비선형 MPC(NMPC)를 모두 구현합니다.
• 타당성은 타당한 제어 시퀀스 집합 $\mathbb{U}_{fk}$ 를 통해 도입되어 예측 시간 간격 동안 상태 및 제어 제약 조건을 만족함을 보장합니다.
• 최적 비용 함수 $J_k^*$ 가 리아푸노프 함수로 작용하도록 함으로써 리아푸노프 기반 안정성 분석을 적용하여 $\Delta V < 0$ 를 보장합니다.
• 안정성 및 수렴성을 향상시키기 위해 종단 제약 조건과 가중치 행렬 $\mathbf{Q}_N$, $\mathbf{F}_{\mathbf{x}_N}$, 및 $\mathbf{g}_{\mathbf{x}_N}$ 을 통합합니다.

Figure 1: (a) MPC General block diagram (b) Basic MPC strategy.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 및 비선형 시스템에 대해 MATLAB에서 MPC를 어떻게 수치적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 예측 시간 간격, 제어 시간 간격, 제약 조건 처리를 포함한 MPC 수식화의 핵심 구성 요소는 무엇인가?
• RQ3 MPC는 리아푸노프 분석을 통해 어떻게 재귀적 타당성과 안정성을 확보하는가?
• RQ4 종단 제약 조건과 가중치 행렬은 MPC 성능 향상과 수렴성 향상에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 예측 시간 간격 $N$ 의 선택은 MPC 제어 법칙의 부분 최적성과 성능에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초기 상태가 타당 집합 $\mathbb{X}_{f0}$ 내에 있을 경우 MPC 제어 법칙은 지속적으로 타당성이 보장되며, 이는 시스템 동역학 하에 향후 모든 시간 단계에서 타당성을 유지함을 의미합니다.
• 최적 비용 함수 $J_k^*$ 가 리아푸노프 함수로 기능할 경우 안정성이 확보되며, 이는 $\Delta V = J_{k+1}^*(\mathbf{x}_{k+1}) - J_k^*(\mathbf{x}_k) < 0$ 를 만족함을 의미합니다.
• 선형 시간 불변(LTI) 시스템의 경우, 종단 가중치 행렬 $\mathbf{Q}_N$ 과 종단 제약 조건을 적절히 선택하면 값 함수가 유효한 리아푸노프 함수가 됩니다.
• 예측 시간 간격 $N$ 이 총 시간 간격 $N_T$ 에 수렴함에 따라 MPC 제어 법칙은 점점 더 최적에 가까워지며, 전역 최적 해에 수렴합니다.
• 종단 제약 조건 $\mathbf{F}_{\mathbf{x}_N}$ 과 종단 비용 $\mathbf{Q}_N$ 의 사용은 LMPC 및 NMPC 양쪽 모두에서 안정성 및 수렴 성능을 크게 향상시킵니다.
• MATLAB 기반 구현은 MPC 문제의 효율적인 수치적 해법을 가능하게 하며, 다양한 시스템 모델에 대해 LMPC 및 NMPC에 대한 코드 예제를 제공합니다.

Figure 2: LMPC response (a) Stabilization (b) Set point tracking.