[논문 리뷰] Model structure on projective systems of $C^*$-algebras and bivariant homology theories

Ilan Barnea, M. Joachim외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 피브레이션 범주 기법을 사용하여 분리 가능한 $C^*$-대수의 프로-범주인 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 모델 구조를 구성한다. 이는 점이 있는 비환류 공간의 $\infty$-범주를 모델링한다. 이 모델 범주의 안정화는 $C^*$-대수의 삼각형 및 이변량 호모로지 이론에 대한 일반적인 형식을 제공하며, 적절한 조건 하에서 본카트의 구성과 일치하는 새로운 이변량 $\mathrm{K}$-이론을 포함한다.

ABSTRACT

Using the machinery of weak fibration categories due to Schlank and the first author, we construct a convenient model structure on the pro-category of separable $C^*$-algebras $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$. The opposite of this model category models the $\infty$-category of pointed noncommutative spaces $\mathtt{N}\mathcal{S_*}$ defined by the third author. Our model structure on $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ extends the well-known category of fibrant objects structure on $\mathtt{SC^*}$. We show that the pro-category $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ also contains, as a full coreflective subcategory, the category of pro-$C^*$-algebras that are cofiltered limits of separable $C^*$-algebras. By stabilizing our model category we produce a general model categorical formalism for triangulated and bivariant homology theories of $C^*$-algebras (or, more generally, that of pointed noncommutative spaces), whose stable $\infty$-categorical counterparts were constructed earlier by the third author. Finally, we use our model structure to develop a bivariant $\mathrm{K}$-theory for all projective systems of separable $C^*$-algebras generalizing the construction of Bonkat and show that our theory naturally agrees with that of Bonkat under some reasonable assumptions.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 $C^*$-대수의 범주 $\mathtt{SC^*}$의 분리 객체 구조를 확장하고 점이 있는 비환류 공간의 $\infty$-범주를 모델링하는 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 모델 구조를 구성하는 것.
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$가 분리 가능한 $C^*$-대수의 내림 극한인 프로-$C^*$-대수의 전형적 코레플렉티브 부분범주를 포함하고 있음을 보이는 것.
• 모델 범주를 안정화하여 $C^*$-대수와 비환류 공간의 삼각형 및 이변량 호모로지 이론에 대한 일반적인 형식을 도출하는 것.
• 본카트의 이변량 $\mathrm{K}$-이론을 일반화하고, 합리적인 가정 하에서 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 슐랑크와 바르니아의 약한 피브레이션 범주 프레임워크를 활용하여, 분리 가능한 $C^*$-대수의 범주를 그 프로-범주 위의 모델 구조로 올리는 것.
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$와 $\infty$-범주 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*_{\infty}})$ 사이의 쿠일렌 수반을 구성하여, 프로-$\infty$-범주와의 호환성을 확보하는 것.
• 분리 가능한 $C^*$-대수의 내림 극한인 프로-$C^*$-대수로 이루어진 전형적 코레플렉티브 부분범주를 식별하는 것.
• 모델 범주 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 안정화 기법을 적용하여, 이변량 호모로지 이론을 모델링하는 스펙트럼의 안정 $\infty$-범주를 도출하는 것.
• $\infty$-범주적 인드- 및 프로-구성에 의해, 안정된 $\infty$-범주적 스펙트럼과 프로-범주의 안정화 사이의 자연 동치를 확립하는 것.
• 결과적으로 도출된 이변량 $\mathrm{K}$-이론을 본카트의 구성과 비교하여, 적절한 가정(예: 적절성과 안정성) 하에서 일치함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 $C^*$-대수의 범주 $\mathtt{SC^*}$의 분리 객체 구조를 확장하고 점이 있는 비환류 공간의 $\infty$-범주를 모델링하는 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 프로-범주 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$는 어떻게 안정화되어 $C^*$-대수의 이변량 호모로지 이론에 대한 형식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 제안된 프로-$C^*$-대수에 대한 이변량 $\mathrm{K}$-이론은 표준적인 가정 하에서 본카트의 구성과 일치하는가?
• RQ4 프로-범주 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$와 분리 가능한 $C^*$-대수의 내림 극한인 프로-$C^*$-대수의 범주 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$의 안정화와 $\mathtt{SC^*_{\infty}}$의 $\infty$-범주적 안정화 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\mathtt{SC^*}$의 분리 객체 구조를 확장하고 필요한 호모토피적 성질을 만족하는 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 쿠일렌 모델 구조가 구성됨.
• 이 모델 범주의 반대 범주는 마한타가 정의한 점이 있는 비환류 공간 $\mathtt{N}\mathcal{S}_*$의 $\infty$-범주를 모델링함.
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$는 분리 가능한 $C^*$-대수의 내림 극한인 프로-$C^*$-대수로 이루어진 전형적 코레플렉티브 부분범주를 포함함.
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$의 모델 범주의 안정화로 $C^*$-대수의 삼각형 및 이변량 호모로지 이론에 대한 일반적인 형식이 도출됨.
• 프로-시스템이 적절하고 대수가 분리 가능한 경우, 결과적으로 도출된 이변량 $\mathrm{K}$-이론은 본카트의 구성과 일치함.
• $\mathtt{SC^*_{\infty}}$의 $\infty$-범주적 안정화와 모델 범주 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$에 관련된 스펙트럼의 $\infty$-범주가 자연 동치를 통해 동치임을 보임.