[논문 리뷰] Models of Type Theory with Strict Equality

Paolo Capriotti|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 마틴-lö프 유형 이론에 엄격한 등식을 기본적으로 도입함으로써 이중 수준 유형 이론을 위한 의미론적 프레임워크를 제안한다. 이는 호모토피 유형 이론의 기존 등식 외에 엄격한 등식을 추가한 것이다. 논문은 보존성 결과를 확립하고, 단순 첨자형과 기본적인 $(\infty,1)$-범주론에의 적용을 보여주며, HoTT에서 열려 있는 문제들에 대한 부분적 해결책을 제공한다.

ABSTRACT

This thesis introduces the idea of two-level type theory, an extension of Martin-Löf type theory that adds a notion of strict equality as an internal primitive. A type theory with a strict equality alongside the more conventional form of equality, the latter being of fundamental importance for the recent innovation of homotopy type theory (HoTT), was first proposed by Voevodsky, and is usually referred to as HTS. Here, we generalise and expand this idea, by developing a semantic framework that gives a systematic account of type formers for two-level systems, and proving a conservativity result relating back to a conventional type theory like HoTT. Finally, we show how a two-level theory can be used to provide partial solutions to open problems in HoTT. In particular, we use it to construct semi-simplicial types, and lay out the foundations of an internal theory of $(\infty, 1)$-categories.

연구 동기 및 목표

• 이중 수준 유형 이론에서 엄격한 등식을 갖는 형식의 유형 생성자에 대한 체계적인 의미론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이중 수준 유형 이론이 기존의 유형 이론(예: HoTT)으로 되돌아가는 보존성 결과를 확립하기 위해.
• 이중 수준 프레임워크를 활용하여 호모토피 유형 이론에서 열려 있는 문제들에 대한 부분적 해결책을 제공하기 위해.
• 유형 이론 내에서 $(\infty,1)$-범주론의 내부 이론을 위한 기초를 다지기 위해.

제안 방법

• 마틴-lö프 유형 이론을 확장하여 엄격한 등식을 별개의 유형 이론적 기본 개념으로 도입한다.
• 이중 수준 시스템 내의 유형 생성자들을 체계적으로 설명하는 의미론적 프레임워크를 개발한다.
• 엄격한 등식을 추가해도 기존 표준 HoTT의 결과들이 손상되지 않는다는 것을 보여주기 위해 보존성 추론을 사용한다.
• 기존 HoTT에서는 어렵게 형식화할 수 있는 단순 첨자형을 이중 수준 시스템을 활용해 구성한다.
• 엄격한 등식과 약한 등식의 구분을 활용하여 $(\infty,1)$-범주론의 내부 이론을 위한 기초를 마련한다.
• 일致성과 표현력을 확보하기 위해 유형 이론, 범주론, 호모토피 이론의 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 등식과 약한 등식을 모두 갖는 이중 수준 유형 이론은 어떻게 체계적으로 형식화되고 의미론적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ2 이중 수준 유형 이론과 표준 호모토피 유형 이론 간의 보존성 관계는 어떠한가?
• RQ3 이중 수준 유형 이론을 사용하여 기존 HoTT에서는 확보할 수 없는 단순 첨자형을 구성할 수 있는가?
• RQ4 엄격한 등식과 약한 등식의 구분은 $(\infty,1)$-범주론의 내부 발전을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 엄격한 등식을 추가함으로써 유형 이론적 구성에 어떤 기초적 이점이 제공되는가?

주요 결과

• 엄격한 등식을 갖는 이중 수준 유형 이론 내의 유형 생성자들을 체계적으로 설명하는 의미론적 프레임워크가 개발되었다.
• 보존성 결과가 증명되었으며, 이는 이중 수준 유형 이론이 표준 호모토피 유형 이론의 결과를 손상시키지 않는다는 것을 보여준다.
• 이 프레임워크는 기존에 HoTT에서 형식화하기 어려운 단순 첨자형의 구성이 가능하게 한다.
• 논문은 이중 수준 구조를 활용하여 $(\infty,1)$-범주론의 내부 이론을 위한 기초를 다졌다.
• 엄격한 등식과 약한 등식의 구분은 호모토피 유형 이론 내 열려 있는 문제들을 해결하는 데 실용적인 도구를 제공한다.