[논문 리뷰] Modified weak multiplier Hopf algebras

Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소스 이미지 $B$의 멀티플라이어 대수에서의 가역 원소 $u, v$를 통해 정규 약한 다중체 호프 대수의 변형을 제안한다. 조건 $E(vu \otimes 1)E = E$ 하에서, 수정된 코곱 $\Delta' = (u \otimes 1)\Delta(\cdot)(v \otimes 1)$는 새로운 정규 약한 다중체 호프 대수를 유도하며, 수정된 쌍대항등원, 소스/타겟 사상, 그리고 캐논칼 아이디포텐트에 대한 명시적 공식을 제공한다. 이 구성은 유한 차원의 약한 호프 대수에서 알려진 토글 변형을 일반화하며, 새로운 예와 기존의 약한 다중체 호프 대수에서 유도되지 않는 새로운 정규 다중체 호프 대수oid를 제공한다.

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a regular weak multiplier Hopf algebra. Denote by $E$ the canonical idempotent of $(A,Δ)$ and by $B$ the image of the source map. Recall that $B$ is a non-degenerate algebra, sitting nicely in the multiplier algebra $M(A)$ of $A$ so that also $M(B)$ can be viewed as a subalgebra of $M(A)$. Assume that $u,v$ are invertible elements in $M(B)$ so that $E(vu\otimes 1)E=E$. This last condition is obviously fulfilled if $u$ and $v$ are each other inverses, but there are also other cases. Now modify $Δ$ and define $Δ'(a)=(u\otimes 1)Δ(a)(v\otimes 1)$ for all $a \in A$. We show in this paper that $(A,Δ')$ is again a regular weak multiplier Hopf algebra and we obtain formulas for the various data of $(A,Δ')$ in terms of the data associated with the original pair $(A,Δ)$. In the case of a finite-dimensional weak Hopf algebra, the above deformation is a special case of the twists as studied by Nikshych and Vainerman. It is known that any regular weak multiplier Hopf algebra gives rise in a natural way to a regular multiplier Hopf algebroid. This result applies to both the original weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ and the modified version $(A,Δ')$. However, the same method can be used to associate another regular multiplier Hopf algebroid to the triple $(A,Δ,Δ')$. This turns out to give an example of a regular multiplier Hopf algebroid that does not arise from a regular weak multiplier Hopf algebra although the base algebra is separable Frobenius.

연구 동기 및 목표

• 약한 호프 대수에서의 토글 개념을 정규 약한 다중체 호프 대수의 맥락으로 일반화하기 위해.
• 기존의 정규 약한 다중체 호프 대수 $ (A, \Delta) $에서 $ B $가 소스 사상의 이미지일 때, $ u, v \in M(B) $를 이용한 변형을 통해 새로운 정규 약한 다중체 호프 대수 $ (A, \Delta') $를 구성하기 위해.
• 기존 데이터에 대한 수정된 쌍대항등원 $ S' $, 소스 및 타겟 사상 $ \varepsilon_s', \varepsilon_t' $, 캐논칼 아이디포텐트 $ E' $에 대한 명시적 공식 유도하기 위해.
• 조건 $ E(vu \otimes 1)E = E $ 하에서 수정된 쌍 $ (A, \Delta') $가 여전히 정규 약한 다중체 호프 대수임을 보여주기 위해. 이 조건은 역원 조건을 일반화한다.

제안 방법

• 소스 이미지 $ B $의 멀티플라이어 대수 $ M(B) $의 가역 원소 $ u, v $에 대해, $ a \in A $에 대해 새로운 코곱 $ \Delta'(a) = (u \otimes 1)\Delta(a)(v \otimes 1) $를 정의한다.
• 조건 $ E(vu \otimes 1)E = E $가 $ \Delta' $가 잘 정의된 호모모르피즘임을 보장하고, 약한 다중체 호프 대수의 정규성 구조를 유지함을 보여준다.
• 수정된 캐논칼 아이디포텐트는 $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $이며, 이는 수정된 캐논칼 사상 $ T_1' $ 및 $ T_2' $의 범위를 특징짓는다.
• 캐논칼 아이디포텐트 $ E $와 코곱 $ \Delta $의 성질을 이용하여, 수정된 쌍대항등원 $ S' $, 소스 사상 $ \varepsilon_s' $, 타겟 사상 $ \varepsilon_t' $에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 삼중쌍 $ (A, \Delta, \Delta') $로부터 새로운 정규 다중체 호프 대수oid를 구성하며, 기존의 정규 약한 다중체 호프 대수에서 유도되지 않음을 보여주며, 기저 대수가 분리 가능한 프로베니우스 대수임에도 불구하고 이를 증명한다.
• 특수한 경우를 조사한다. 예를 들어 $ u $가 유니터리이고 $ v = u^* $일 경우 $ \ast $-대수에서의 경우, 그리고 $ u, v $가 $ M(B) $의 중심에 있을 경우, 이는 $ E' = E $ 및 $ S' = S $를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 멀티플라이어 대수 $ M(B) $의 가역 원소 $ u, v $에 대해 어떤 조건에서 수정된 코곱 $ \Delta' = (u \otimes 1)\Delta(\cdot)(v \otimes 1) $이 정규 약한 다중체 호프 대수를 유도하는가?
• RQ2 수정된 쌍대항등원 $ S' $, 소스 사상 $ \varepsilon_s' $, 타겟 사상 $ \varepsilon_t' $는 원래 데이터 $ (A, \Delta) $와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $ (A, \Delta, \Delta') $로부터 정규 다중체 호프 대수oid를 구성할 때, 기저 대수가 분리 가능한 프로베니우스 대수임에도 불구하고, 정규 약한 다중체 호프 대수에서 유도되지 않는 예를 얻을 수 있는가?
• RQ4 이 변형은 유한 차원의 약한 호프 대수에서 알려진 토글 구성과 어떤 관계가 있는가? 특히 [N-V]에서 다뤄진 바와의 관계는?
• RQ5 이 변형을 $ M(A \otimes A) $의 더 일반적인 원소 $ U, V $로 일반화할 수 있는가? 이 경우에도 $ \Delta'(a) = U\Delta(a)V $가 여전히 정규 약한 다중체 호프 대수를 정의하는가?

주요 결과

• 가역 원소 $ u, v \in M(B) $가 존재하고 조건 $ E(vu \otimes 1)E = E $를 만족할 경우, 수정된 쌍 $ (A, \Delta') $는 정규 약한 다중체 호프 대수이다. 이는 $ u $와 $ v $가 상호 역원일 경우를 일반화한다.
• 수정된 캐논칼 아이디포텐트는 $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $이며, 이는 수정된 캐논칼 사상 $ T_1' $ 및 $ T_2' $의 범위를 특징짓고, 코아소시아티비티와 정규성을 보장한다.
• 수정된 쌍대항등원 $ S' $, 소스 사상 $ \varepsilon_s' $, 타겟 사상 $ \varepsilon_t' $는 원래 쌍대항등원 $ S $, $ u $, $ v $에 대해 명시적으로 표현되며, 대수적 구조를 유지한다.
• 만약 $ u $와 $ v $가 $ M(B) $의 중심에 있을 경우, 조건 $ E(vu \otimes 1)E = E $는 $ v = u^{-1} $를 강제로 유도하며, 이에 따라 $ E' = E $ 및 $ S' = S $가 된다. 그러나 $ u = v = 1 $이 아닐 경우 $ \Delta' \neq \Delta $이다.
• 삼중쌍 $ (A, \Delta, \Delta') $로부터 새로운 정규 다중체 호프 대수oid를 구성할 수 있으며, 이는 정규 약한 다중체 호프 대수에서 유도되지 않지만, 그 기저 대수가 분리 가능한 프로베니우스 대수임을 보여준다.
• 이 구성은 기존의 유한 차원의 약한 호프 대수에서의 토글 변형을 일반화하며, 적분이 존재하지 않는 상황에서 쌍대 구성과 적분을 연구하는 데 더 넓은 프레임워크를 제안한다.