[논문 리뷰] Moment and tail estimates for martingales and martingale transform, with application to the martingale limit theorem in Banach spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 56인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이산 시간 마르تين갈과 마르틴갈 변환의 尾함수 및 분포에 대한 비점근적 지수적 및 모멘트 추정을, 마르틴갈 차이와 예측 가능 승수의 무조건적 모멘트 및 尾행동을 사용하여 수립한다. 주요 기여는 정규화된 마르틴갈 합에 대한 날카운 $ L(p) $-노름 bound $ \left|n^{-1/2}S(n)\right|_p \leq (p-1) \left\{ n^{-1} \sum_{i=1}^n |\xi(i)|_p^2 \right\}^{1/2} $ 로, 상수의 정확도까지 정확하며, 버크홀더 유형 부등식을 일반화하고 베르누이 공간에서 중심극한정리에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exponential and moment estimates are derived for tail of distribution for discrete time martingale and martingale transform by means of martingale differences in the terms of moments and tails of distributions of summands and multipliers. We show also the exactness of obtained estimations and consider some applications in the theory of limit theorem for Banach space valued martingales.

연구 동기 및 목표

• 마르틴갈 차이와 예측 가능 승수의 $ L(p) $-노름 및 尾행동을 사용하여 이산 시간 마르틴갈과 마르틴갈 변환에 대한 비점근적 모멘트 및 尾추정을 유도하는 것.
• 더 높은 정밀도의 상수를 제공함으로써 기존의 부등식, 특히 버크홀더 및 관련 결과를 향상 또는 일반화하는 것.
• 극한 예시를 통한 상수의 곱에 대한 정확도를 입증함으로써 유도된 추정의 정확도를 입증하는 것.
• 마르틴갈 랜덤 필드의 약수렴성 및 연속 함수 공간에서의 베르누이 공간에서의 중심극한정리에 추정을 적용하는 것.

제안 방법

• 버크홀더 부등식의 변종을 사용하여 모멘트 추정을 도출하며, 원래 상수 $ p\sqrt{2} $ 를 $ p-1 $ 으로 대체함으로써 이전의 추정을 향상시킴.
• 정규화된 마르틴갈 합 $ n^{-1/2}S(n) $ 에 이 부등식을 적용하여, $ |\xi(i)|_p^2 $ 의 평균에 대해 날카운 $ L(p) $-노름 bound 를 도출함.
• 정의된 $ p $-이차변동 $ <f>_{n,p} $, 즉 $ \left\{ \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[ |\xi^2(i)/F(i-1)|_p ] \right\}^{1/2} $ 을 사용하여 노름 비교를 정밀화함.
• 노름 비교에서 최적 상수 $ \tilde{K}(p) $ 를 확립하며, $ p \geq 2 $ 에서 $ \tilde{K}(p) \asymp p / \log p $ 임을 보임.
• 동일한 상수의 곱에 대해 정확도를 입증하기 위해 동일분포의 대칭 랜덤 변수의 극한 수열을 구성함.
• 결과를 약수렴성 및 베르누이 공간에서의 중심극한정리에 적용함. 특히 연속 함수 공간과 확률적 적분에 대해 적용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마르틴갈 차이와 승수의 $ L(p) $-노름 및 尾행동만을 사용하여 마르틴갈과 마르틴갈 변환에 대해 더 날카운 모멘트 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 마르틴갈 합에 대한 $ L(p) $-노름 bound 의 최적 상수는 무엇이며, 기존의 부등식과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 유도된 마르틴갈에 대한 모멘트 및 尾추정은 곱 상수의 정확도까지 정확한가? 어떤 예시가 이러한 정확도를 달성하는가?
• RQ4 이 추정은 마르틴갈 랜덤 필드의 약수렴성에 대한 충분조건을 확립하는 데 어떻게 응용될 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 연속 시간 또는 고차원 설정에서의 확률적 적분 및 다중 마르틴갈 변환으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 추정 $ \left|n^{-1/2}S(n)\right|_p \leq (p-1) \left\{ n^{-1} \sum_{i=1}^n |\xi(i)|_p^2 \right\}^{1/2} $ 을 수립하며, 이는 이전 결과보다 더 날카운 상수 $ p-1 $ 을 사용하여 향상됨.
• 이 추정은 상수의 곱에 대해 날카로움이 입증되었으며, 하한 $ C_1 p / \log p \leq \tilde{K}(p) \leq C_2 p / \log p $ 를 만족함. 여기서 $ \tilde{K}(p) $ 는 $ p $-이차변동 $ <f>_{n,p} $ 를 포함한 노름 비교에서 최적 상수임.
• 정확도는 유한한 $ p $-차 모멘트를 갖는 i.i.d. 대칭 랜덤 변수의 수열을 사용하여 하한을 점점 더 근접하게 도달함으로써 입증됨.
• 결과는 마르틴갈 랜덤 필드의 약수렴성에 대한 충분조건을 증명하고, 연속 함수 공간에서의 귀납적 정규분포 필드 수렴을 가능하게 함.
• 이 프레임워크는 연속 마르틴갈에 대한 확률적 적분 및 다중 마르틴갈 변환으로 확장되며, 동일한 원리에 따라 유사한 모멘트 및 尾추정을 도출할 수 있음.
• 논문은 그라운드 르베그 공간으로의 일반화를 제안하며, 유도된 부등식의 강건성과 더 넓은 응용 가능성을 시사함.