[논문 리뷰] Monads on higher monoidal categories

Marcelo Aguiar, Mariana Haim외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중 호환 가능한 모나드 구조를 가진 고차 모나드 카테고리—즉, 여러 개의 호환 가능한 모나드 구조를 가진 카테고리—에 대해 소개하고 연구한다. 이러한 모나드에 대해 그 알제브라의 카테고리가 고차 모나드 구조를 상속할 수 있는 충분한 조건을 제시한다. 주요 기여는 정리 8.1로, 모나드가 고차 모나드 구조와 호환될 때(다중 선형성과 일관성 조건을 통해), 그 알제브라의 카테고리가 n-모나드 카테고리가 되며, 기존의 모나드 및 코모나드 모나드 이론을 일반화한다.

ABSTRACT

We study the action of monads on categories equipped with several monoidal structures. We identify the structure and conditions that guarantee that the higher monoidal structure is inherited by the category of algebras over the monad. Monoidal monads and comonoidal monads appear as the base cases in this hierarchy. Monads acting on duoidal categories constitute the next case. We cover the general case of $n$-monoidal categories and discuss several naturally occurring examples in which $n\leq 3$.

연구 동기 및 목표

• 다중 호환 가능한 모나드 구조를 가진 카테고리로 모나드 및 코모나드 모나드 이론을 일반화하기.
• 알제브라의 카테고리가 모나드에 의해 고차 모나드 구조를 상속할 수 있는 구조적 조건을 규명하기.
• duoidal 및 n-모나드 카테고리에서 작용하는 기존 결과들을 통합하고 확장하기.
• 고차 모나드 환경에서의 다중 선형성과 일관성에 대한 체계적인 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• n-모나드 카테고리에서의 고차 모나드의 개념을 도입하여, 모나드 및 코모나드 모나드를 일반화한다.
• 다중 선형성의 개념을 사용하여 모나드와 다수의 모나드 구조 간의 호환성을 정의한다.
• 표현 가능한 다중카테고리 이론과 코라크 모나드 구조를 활용하여 알제브라 위에 모나드 구조를 구성한다.
• Linton 형식의 반사 동치를 사용하여 알제브라의 카테고리에서의 텐서 곱을 정의한다.
• 지정된 모나드와 스매시 곱 구조를 핵심 예시로 삼아, 고차 모나드 구조를 유도하는 모나드의 사례를 분석한다.
• 종류의 종류와 bimonoidal 코모나드를 사용하여 종류의 카테고리에서 명시적 예시를 구성함으로써 이론을 구체화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n-모나드 카테고리에서의 모나드가 그 알제브라의 카테고리에 호환 가능한 n-모나드 구조를 유도할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모나드, 코모나드, 혼합형 모나드가 고차 모나드 카테고리의 다수의 모나드 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 다중 선형성이 모나드와 고차 모나드 구조 간의 일관성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이중 지정된 객체의 스매시 곱은 모나드를 통해 체계적으로 구성될 수 있는가?
• RQ5 종류의 카테고리에서 bimonoidal 코모나드가 코모듈의 카테고리에 duoidal 구조를 유도할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 8.1은 n-모나드 카테고리에서의 모나드가 적절한 다중 선형성 및 일관성 조건을 만족할 경우, 그 알제브라의 카테고리가 고차 모나드 구조를 상속함을 보여준다.
• 모나드 모나드에 대한 알제브라의 카테고리에는 다중카테고리 구조와 코라크 모나드 구조가 존재하며, 이는 정리 3.14에서 입증된다.
• 지정된 모나드 구조는 이중 지정된 객체의 스매시 곱을 유도하며, 고차 모나드 구조를 유도하는 모나드의 구체적 예시를 제공한다.
• 집합론적 bimonoid B에 대해, 관련된 코모나드는 B-종류의 카테고리에 duoidal 구조를 유도하며, 두 텐서 곱에 대한 명시적 공식이 존재한다.
• 벡터 종류의 경우, 집합론적 bimonoid의 선형화는 3-모나드 카테고리에서 (2,1)-모나드를 유도하며, 이는 bimonoidal 코모나드와 코모듈의 카테고리에 duoidal 구조를 유도한다.
• 기초 종류가 공집합에만 집중되어 있지 않은 한, 코모나드 구조에서의 선형성은 성립하지 않으며, 이는 완전한 선형성에 대한 핵심적 장애물임을 드러낸다.