[논문 리뷰] Moore-Penrose inverse of Gram operator on Hilbert C*-modules

Mohammad Sal Moslehian, Kamran Sharifi외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 17.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 정규 연산자 $t$에 대해 그 그램 연산자 $t^*t$의 무어-펜로즈 역행렬 가능성을 조사하며, $t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ 및 $(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$가 성립하는 조건을 규명한다. 주요 기여는 이러한 항등식이 성립하는 조건을 특성화하는 것으로, 특히 범위가 수직보완 가능한 경우에 초점을 맞추며, 컴 pact 연산자 대수 위의 조밀하게 정의된 닫힌 연산자에 응용한다.

ABSTRACT

Let $t$ be a regular operator between Hilbert $C^*$-modules and $t^†$ be its Moore-Penrose inverse. We investigate the Moore-Penrose invertibility of the Gram operator $t^*t$. More precisely, we study some conditions ensuring that $t^† = (t^* t)^† t^*= t^* (t t^*)^†$ and $(t^*t)^†=t^†t^{* †}$ hold. As an application, we get some results for densely defined closed operators on Hilbert $C^*$-modules over $C^*$-algebras of compact operators.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 정규 연산자 $t$에 대해 그 그램 연산자 $t^*t$의 무어-펜로즈 역행렬 가능성을 조사한다.
• 연산자 $t^\flat = (t^*t)^\flat t^*$ 및 $(t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat}$가 성립하는 충분한 조건을 규명한다.
• 힐버트 $C^*$-모듈러스 위의 $C^*$-대수의 컴 pact 연산자에 대한 조밀하게 정의된 닫힌 연산자로 결과를 확장한다.
• 범위의 수직보완이 역행렬 항등식의 타당성에 미치는 영향을 명확히 한다.

제안 방법

• 유계 및 비유계 정규 연산자를 중심으로, 힐버트 $C^*$-모듈러스 이론과 고려 가능한 연산자 이론을 활용한다.
• 무어-펜로즈 역행렬에 대해 극한 표현 $t^\flat = \lim_{\omega \to 0^+} t^* (\omega 1 + t t^*)^{-1}$ 를 적용한다.
• 스펙트럼 이론과 유계 편향 기법을 이용하여 해석적 연산자 $ (\omega 1 + t t^*)^{-1} $ 를 활용한다.
• 정의도메인 포함관계와 범위 성질을 분석하며, 특히 $ \text{Dom}(t^\flat) \supseteq \text{Ran}(t^* (t t^*)^\flat) $ 를 통해 연산자 등식을 평가한다.
• 범위 $ \overline{\text{Ran}(t)} $ 및 $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 가 수직보완 가능하다는 가정을 통해 가환성과 역행렬 항등식을 유도한다.
• 컴 pact 연산자 대수 위의 $C^*$-대수에 대해 [6, 정리 3.8]의 결과를 적용하며, 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 정규적이며 무어-펜로즈 역행렬을 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 연산자 $ t $가 힐버트 $ C^* $-모듈러스 위에 있을 때, $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 연산자에 대해 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연산자 포함관계 $ \text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat) $ 가 엄밀히 포함될 수 있는가? 이는 역행렬 항등식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 연산자 $ t $ 및 $ t^* $ 의 범위가 수직보완될 경우, 무어-펜로즈 역행렬의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모듈러스 위의 $ C^* $-대수의 컴 pact 연산자에 대해 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자가 정규적이며 무어-펜로즈 역행렬을 갖는다는 결과의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 및 $ \overline{\text{Ran}(t)} $ 가 모듈러스 내에서 수직보완 가능할 경우, 항등식 $ t^\flat = (t^*t)^\flat t^* $ 가 성립한다.
• 동일한 수직보완 조건 하에서 항등식 $ (t^*t)^\flat = t^\flat t^{*\flat} $ 도 성립한다.
• 포함관계 $ \text{Dom}(t^{*\flat} (t t^*)^\flat) \subset \text{Dom}(t^\flat) $ 는 엄밀히 포함될 수 있으며, 이는 역행렬 항등식에서의 연산자 포함관계가 등식이 아닐 수 있음을 보여준다.
• 컴 pact 연산자 대수 위의 힐버트 $ C^* $-모듈러스에 대해, 모든 조밀하게 정의된 닫힌 연산자는 정규적이며 무어-펜로즈 역행렬을 갖는다.
• 연산자 $ S $ 가 $ t $ 와 $ t^* $ 와 가환하며, $ t $ 와 $ t^* $ 의 범위가 수직보완 가능할 경우, $ S t^\flat \subseteq t^\flat S $ 가 성립한다.
• $ t $ 가 자기수반임을 특성화하는 조건은 $ t = \overline{t^\flat t} t^* $ 이며, 여기서 $ \overline{t^\flat t} $ 는 $ \overline{\text{Ran}(t^*)} $ 에로의 수직투영이다.