[논문 리뷰] Multilevel distillation of magic states for quantum computing

Cody Jones|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전이성 Hadamard 게이트를 갖는 캔케이티드 CSS 코드인 H 코드의 가족을 사용하여 마법 상태의 다수준 정련을 소개한다. 이는 낮은 정밀도의 마법 상태를 소비하여 고정밀도의 정련을 가능하게 하며, 자원의 점근적 효율성을 달성한다. 이 방법은 오직 $2^r + 1$개의 입력 상태로 $O(\epsilon^{2^r})$의 오차를 갖는 출력 상태를 생성하며, 이는 이론적 최적 경계에 가까워지고 $10^{-7}$ 이하의 오차에서 이전의 프로토콜을 능가한다.

ABSTRACT

We develop a procedure for distilling magic states used in universal quantum computing that requires substantially fewer initial resources than prior schemes. Our distillation circuit is based on a family of concatenated quantum codes that possess a transversal Hadamard operation, enabling each of these codes to distill the eigenstate of the Hadamard operator. A crucial result of this design is that low-fidelity magic states can be consumed to purify other high-fidelity magic states to even higher fidelity, which we call "multilevel distillation." When distilling in the asymptotic regime of infidelity $ε ightarrow 0$ for each input magic state, the number of input magic states consumed on average to yield an output state with infidelity $O(ε^{2^r})$ approaches $2^r+1$, which comes close to saturating the conjectured bound in [Phys. Rev. A 86, 052329]. We show numerically that there exist multilevel protocols such that the average number of magic states consumed to distill from error rate $ε_{\mathrm{in}} = 0.01$ to $ε_{\mathrm{out}}$ in the range $10^{-5}$ to $10^{-40}$ is about $14\log_{10}(1/ε_{\mathrm{out}}) - 40$; the efficiency of multilevel distillation dominates all other reported protocols when distilling Hadamard magic states from initial infidelity 0.01 to any final infidelity below $10^{-7}$. These methods are an important advance for magic-state distillation circuits in high-performance quantum computing, and they provide insight into the limitations of nearly resource-optimal quantum error correction.

연구 동기 및 목표

• 유니버설 고장내성 양자 계산을 위한 더 자원 효율적인 마법 상태 정련 프로토콜을 개발하기 위해.
• 기존의 정련 회로가 양자 컴퓨터의 자원 요구량을 지배하는 높은 자원 비용 문제를 해결하기 위해.
• 캔케이티드 양자 코드와 전이성 Hadamard 연산을 활용하여 계층적 정련을 가능하게 하는 정련 체계를 설계하기 위해.
• 낮은 정밀도의 입력에서 고정밀도의 마법 상태를 정련할 때 자원 스케일링 측면에서 이론적 최적에 가까운 성능을 달성하기 위해.

제안 방법

• 논리적 Hadamard 연산이 전이성인 $[[n, n-4, 2]]$ 캘러드백-쇼어-스타인(CSS) 코드의 가족—H 코드로 불림—을 제안한다.
• 캔케이티드 H 코드를 사용하여 다수준 정련을 구현하며, 낮은 정밀도의 마법 상태를 소비하여 더 높은 정밀도의 상태를 정련한다.
• 다른 수준의 코드 계층에서 서로 다른 오차 수준을 갖는 입력 마법 상태를 적용하는 계층적 회로 구조를 사용한다.
• 오차를 지수적으로 감소시키기 위해 오류 수정 연산을 반복적으로 적용하는 정련 프로토콜을 설계하며, 이는 오차 억제의 지수적 감소를 달성한다.
• 다양한 캔케이션 수준에서 성능을 수치적으로 평가하여, 출력 상태당 평균 입력 수를 최소화하도록 최적화한다.
• 프로토콜이 점근적으로 추측된 자원 비용의 하한선에 가까워지며, 평균 소비가 $2^r + 1$로 $O(\epsilon^{2^r})$의 출력 오차 수준을 달성함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 정밀도의 마법 상태를 소비하여 고정밀도 상태를 정련하는 프로토콜을 설계할 수 있는가? 이는 총 자원 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ2 점근적 영역에서 목표 출력 오차를 달성하기 위해 필요한 최소 입력 마법 상태 수는 얼마인가?
• RQ3 마법 상태 정련의 자원 비용에 대한 이론적 하한선에 얼마나 가까이 다가설 수 있는가?
• RQ4 전이성 Hadamard 연산을 갖는 캔케이티드 양자 코드가 계층적이고 다수준의 정련 전략을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 초기 오차가 0.01에서 시작하여 최종 오차가 $10^{-40}$ 이하가 되도록 정련할 경우, 이러한 프로토콜의 성능 스케일링은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 다수준 정련 프로토콜은 초기 오차 $\epsilon_{\text{in}} = 0.01$에서 시작하여 출력 오차가 $10^{-5}$에서 $10^{-40}$ 사이에 도달하기 위해 평균적으로 약 $14\log_{10}(1/\epsilon_{\text{out}}) - 40$개의 입력 마법 상태를 소비한다.
• 점근적 오차 $\epsilon \to 0$에서 프로토콜은 오직 $2^r + 1$개의 입력 마법 상태로 $O(\epsilon^{2^r})$의 오차를 갖는 출력을 생성하며, 이는 추측된 이론적 하한선에 가까워진다.
• 특히 고정밀 응용 분야에서 $10^{-7}$ 이하의 오차로 정련할 경우, 이전에 보고된 모든 기법보다 효율성이 뛰어나다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 프로토콜이 여러 캔케이션 수준에서 높은 효율성을 유지하며, 각 수준에서 출력 오차가 지수적으로 감소하는 것으로 확인되었다.
• 이 방법은 총 자원 오버헤드를 크게 줄여 고장내성 양자 계산에 필요한 고정밀도 마법 상태의 접근성을 향상시킨다.
• 전이성 Hadamard 연산을 갖는 H 코드의 사용은 다수준 구조를 가능하게 하며, 낮은 정밀도의 보조 상태가 더 높은 수준의 인코딩된 상태의 정밀도를 향상시킬 수 있다.