[논문 리뷰] Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications

Ao Sun, Zhichao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 51인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 차원 3에서 7인 경계를 가진 컴acts한 다양체에서 min-max 자유경계 최소 초곡면에 대한 다중성 일의성 정리를 확립한다. 일반적인 계량에서 각 $k$-번째 폭은 중복도 1을 가진 임베딩, 양면, 연결된 자유경계 최소 초곡면들의 disjoint 합집합으로 실현됨을 증명한다. 저자들은 모스 지수의 상한을 가진 일반적인 min-max 이론을 개발하고, 이를 이용해 단위 구에서 새로운 자유경계 최소 초곡면과 임의로 큰 엔트로피를 가진 자기수축형을 구성한다.

ABSTRACT

We prove the multiplicity one theorem for min-max free boundary minimal hypersurfaces in compact manifolds with boundary of dimension between 3 and 7 for generic metrics. To approach this, we develop existence and regularity theory for free boundary hypersurface with prescribed mean curvature, which includes the regularity theory for minimizers, compactness theory, and a generic min-max theory with Morse index bounds. As applications, we construct new free boundary minimal hypersurfaces in the unit balls in Euclidean spaces and self-shrinkers of the mean curvature flows with arbitrarily large entropy.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 컴acts한 다양체에서 min-max 자유경계 최소 초곡면에 대한 다중성 일의성 추측을 확립하기 위해.
• 모스 지수의 상한을 가진 자유경계 $h$-초곡면에 대한 일반적인 min-max 이론을 개발하기 위해.
• 유클리드 공간의 단위 구에서 새로운 자유경계 최소 초곡면을 구성하기 위해.
• 최소 곡면 흐름의 자기수축형을 min-max 접근법을 통해 임의로 큰 엔트로피를 가진 채로 구성하기 위해.

제안 방법

• 경계를 가진 컴acts한 다양체에서 자유경계 $h$-초곡면의 최소화자에 대한 정규성 이론을 개발하기 위해.
• 일관된 면적과 모스 지수의 상한 하에서 자유경계 $h$-초곡면에 대한 컴팩트니스 이론을 수립하기 위해.
• 자유경계 $h$-초곡면에 대한 일반적인 min-max 이론을 구성하고, 일반적인 계량에서 min-max 극한이 다중도 1을 가짐을 증명하기 위해.
• 두 번째 변분의 면적을 제어하고 min-max 구성에서 안정성을 확보하기 위해 컷오프 기법을 사용하기 위해.
• 특이한 가우시안 공간에 이론을 적용하기 위해 특이 집합의 튜브근처 근사화를 통해 접근하기 위해.
• 지역적 $h$-엽층화 정리를 활용하여 경계 근처의 기하학을 제어하고 $h$-초곡면의 叶층화된 가닥을 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 컴acts한 다양체에서 일반적인 계량을 갖는 min-max 자유경계 최소 초곡면에 대해 다중성 일의성 성질이 성립하는가?
• RQ2 경계가 존재하는 상황에서, 모스 지수가 임의로 큰 자유경계 최소 초곡면의 존재가 min-max 이론에 의해 보장될 수 있는가?
• RQ3 경계가 있는 컴acts한 다양체에서의 min-max 구성은 최소 곡면 흐름의 자기수축형을 임의로 큰 엔트로피로 생성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 지정된 평균 곡률 $h$-초곡면은 min-max 극한의 정규성과 컴팩트니스에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특이한 가우시안 공간은 어떻게 경계를 가진 컴acts한 다양체를 통해 근사화되어, 큰 가우시안 면적을 가진 최소 초곡면을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 $3 \leq n+1 \leq 7$인 경계를 가진 컴acts한 다양체에서 일반적인 계량 $g$에 대해, $k$-번째 폭 $\omega_k(M;g)$는 중복도 1을 가진 임베딩, 양면, 연결된 자유경계 최소 초곡면들의 disjoint 합집합으로 실현된다.
• 저자들은 자유경계 $h$-초곡면에 대한 일반적인 min-max 이론을 확립하여, 일반적인 계량에서 min-max 극한이 다중도 1을 가지며 모스 지수가 $k$ 이하로 유계임을 증명한다.
• 이 이론은 임의의 차원 $n+1 \in [3,7]$에서 $\mathbb{R}^{n+1}$의 단위 구에서 새로운 자유경계 최소 초곡면의 구성으로 이어진다.
• 특이한 가우시안 공간을 경계를 가진 컴acts한 다양체를 통해 근사화함으로써, 임의로 큰 엔트로피를 가진 최소 곡면 흐름의 자기수축형이 구성된다.
• 자유경계 최소 초곡면 근처의 국소적 $h$-엽층화 정리의 존재는 두 번째 변분의 제어를 가능하게 하며, min-max 구성의 지원이 된다.
• $\xi_r$를 활용한 컷오프 기법은 두 번째 변분의 면적 수렴을 보장하며, 이는 min-max 설정에서 정규성과 안정성을 증명하는 데 핵심적이다.