[논문 리뷰] N=1 theories of class S_k

Davide Gaiotto, Shlomo S. Razamat|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 17.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 38인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $(1,0)$ 초등방정식 이론을 구멍이 있는 리만 곡면에 위상수축하여 구성된 새로운 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론의 클래스인 ${ olimits}_k$를 소개한다. 이는 ${\cal N}=2$ 클래스 ${\cal S}$ 구조의 일반화이다. 이 이론들의 초대칭 지수는 일반화된 타원형 루이젠라우-슈나이더 차분 연산자의 고유함수를 통해 계산되며, 특별한 경우에선 $k=1$일 때 맥도날드 다항식과 유사한 다항식 지수로 귀결된다. 또한, 완전성을 확보하기 위해 새로운 강한 결합 상수의 초등방정식 이론(SCFT)의 존재를 추측한다.

ABSTRACT

We construct classes of ${\cal N}=1$ superconformal theories elements of which are labeled by punctured Riemann surfaces. Degenerations of the surfaces correspond, in some cases, to weak coupling limits. Different classes are labeled by two integers (N,k). The k=1 case coincides with A_{N-1} ${\cal N}=2$ theories of class S and simple examples of theories with k>1 are Z_k orbifolds of some of the A_{N-1} class S theories. For the space of ${\cal N}=1$ theories to be complete in an appropriate sense we find it necessary to conjecture existence of new ${\cal N}=1$ strongly coupled SCFTs. These SCFTs when coupled to additional matter can be related by dualities to gauge theories. We discuss in detail the A_1 case with k=2 using the supersymmetric index as our analysis tool. The index of theories in classes with k>1 can be constructed using eigenfunctions of elliptic quantum mechanical models generalizing the Ruijsenaars-Schneider integrable model. When the elliptic curve of the model degenerates these eigenfunctions become polynomials with coefficients being algebraic expressions in fugacities, generalizing the Macdonald polynomials with rational coefficients appearing when k=1.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $(1,0)$ 초등방정식 이론의 비틀림 위상수축을 통해 ${\cal N}=2$에서 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론으로 클래스 ${\cal S}$ 구조를 일반화한다.
• 구멍이 있는 리만 곡면과 정수 $(N,k)$로 표기되는 새로운 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론의 가족을 정의하며, 이는 $k=1$인 ${\cal N}=2$ 클래스 ${\cal S}$ 이론을 일반화한다.
• 새로운 타원형 차분 연산자의 고유함수를 사용하여 이러한 이론들의 초대칭 지수를 계산하는 프레임워크를 수립하며, 루이젠라우-슈나이저 모델을 일반화한다.
• 완전성을 확보하기 위해 새로운 강한 결합 상수의 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론의 존재를 추측한다.

제안 방법

• M-이론에서 $A_{k-1}$ 특이점 위에 $N$개의 M5 브레인을 위상수축하여 6차원 $(1,0)$ 초등방정식 이론 ${\cal T}^N_k$를 구성함으로써 ${\cal N}=1$ 이론을 수립한다.
• 이중 분할 퀘어 가우지 이론을 실린더 위에서 사용하여 전통적인 ${\cal N}=1$ 이론의 '핵심' 집합을 확보하고, 대칭성과 기하학적 구조를 탐색한다.
• 지수를 일반화된 타원형 루이젠라우-슈나이저 차분 연산자의 고유함수를 통해 계산하며, 이는 충족도와 모듈러스에 의존한다.
• 리만 곡면의 패어 오브 페어츠 분해를 통해 대칭성을 유도하며, 다양한 분해 방식 간의 지수 계산 결과가 일致함을 확인한다.
• 지수에 대한 이중 고유함수 $\hat{\psi}_\lambda$를 도입하여 $U(1)_t$ 이산 전하를 가진 이론에 대해 다루며, 이는 $\Gamma_e$ 함수를 포함한 변환으로 $\psi_\lambda$와 관련된다.
• $k>1$인 경우 두 개의 서로 다른 차분 연산자 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$와 ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$의 정규직교성과 교환 가능성을 확립하며, 이는 $k=1$일 때만 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 ${\cal N}=2$ 이론에 대한 클래스 ${\cal S}$ 구조를 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 특히 ${\cal T}^N_k$로서의 6차원 $(1,0)$ 초등방정식 이론은 어떻게 새로운 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론을 위상수축을 통해 구성하는 데 기여하는가?
• RQ3 리만 곡면의 기하학적 변형, 예를 들어 특이점의 분리나 패어 오브 페어츠 분해와 같은 조건에서 ${\cal S}_k$ 이론의 초대칭 지수가 어떻게 변하는가?
• RQ4 $k>1$인 경우 지수를 지배하는 차분 연산자의 구조는 어떻게 되며, 이는 어떻게 루이젠라우-슈나이저 모델을 일반화하는가?
• RQ5 왜 클래스 ${\cal S}_k$ 구조의 완전성을 확보하기 위해 새로운 강한 결합 상수의 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론이 필요하며, 이들은 어떻게 대칭성을 통해 가우지 이론과 관련되는가?

주요 결과

• ${\cal N}=1$ 이론의 클래스 ${\cal S}_k$에 대한 초대칭 지수는 일반화된 타원형 루이젠라우-슈나이저 차분 연산자의 고유함수를 사용한 2차원 위상적 장 이론으로 계산된다.
• $k=1$일 경우 고유함수는 유리수 계수를 가진 맥도날드 다항식으로 축소되며, $k>1$일 경우 편미분 계수를 가진 고유함수로 일반화된 고유함수로 변환된다.
• 모델 내의 타원 곡선의 특이점 분리로 다항식 고유함수로의 전환이 가능하며, 이는 $k=1$의 경우를 일반화하고, 라그랑지안 기술 없이도 지수 계산을 가능하게 한다.
• $k>1$인 경우 두 개의 서로 다른 교환 가능한 차분 연산자 ${{\widetilde{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$와 ${{\hat{\mathfrak{S}}}}^{({\beta},-)}_{(0,1)}$의 존재는 $k=1$의 경우와 비교해 더 풍부한 기하학적 구조를 나타낸다.
• 다이얼로지 웹을 완성하기 위해 새로운 강한 결합 상수의 ${\cal N}=1$ 초등방정식 이론의 존재를 추측하며, 이러한 이론들은 물질과 결합하여 대칭적인 가우지 이론을 생성한다.
• $U(1)_t$ 이산 전하를 가진 이론의 지수 계산은 이중 고유함수 $\hat{\psi}_\lambda$를 포함하며, 이는 비트리비어 $\Gamma_e$ 기반 변환을 통해 $\psi_\lambda$와 연결되어 있으며, 대칭성에 따라 일致성을 보장한다.