[논문 리뷰] Natural Stratifications of Reeb Spaces and Higher Morse Functions.

Ryan E. Grady, Anna Schenfisch|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 17.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매핑 $ f: X \to \mathbb{R}^k $의 잰지 집합을 활용하여 리브 공간과 고차원 모르스 함수에 자연스러운 계층적 분할을 수립한다. 특정 조건 하에서 $ X $, $ \mathbb{R}^k $, 그리고 리브 공간에 유도된 구조가 계층적 매핑을 이룬다. 또한 특이점 집합을 사용하여 고차원 모르스 함수로 이 프레임워크를 확장하고, 하위-포스에 의해 다중 매개변수 필터링을 정의한다.

ABSTRACT

Both Reeb spaces and higher Morse functions induce natural stratifications. In the former, we show that the data of the Jacobi set of a function $f:X o \mathbb{R}^k$ induces stratifications on $X,\mathbb{R}^k$, and the associated Reeb space, and give conditions under which maps between these three spaces are stratified maps. We then extend this type of construction to the codomain of higher Morse functions, using the singular locus to induce a stratification of which sub-posets are equivalent to multi-parameter filtrations.

연구 동기 및 목표

• 매핑 $ f: X \to \mathbb{R}^k $의 잸지 집합이 도메인 $ X $, 공도메인 $ \mathbb{R}^k $, 그리고 리브 공간에 어떻게 계층적 분할을 유도하는지 이해하는 것.
• 도메인 $ X $, 공도메인 $ \mathbb{R}^k $, 그리고 리브 공간 간의 매핑이 계층적 매핑이 되는 조건을 규명하는 것.
• 특이점 집합을 사용하여 리브 공간의 계층적 분할 프레임워크를 고차원 모저스 함수로 확장하는 것.
• 특이점 집합에서 파생된 하위-포스가 고차원 모저스 함수 설정에서 다중 매개변수 필터링과 어떻게 대응하는지 보여주는 것.

제안 방법

• 매끄러운 매핑 $ f: X \to \mathbb{R}^k $의 잰지 집합을 활용하여 도메인 $ X $에 계층적 분할을 정의한다.
• 잔지 집합에서 유도된 특이 구조를 올려 기저공간 $ \mathbb{R}^k $에 계층적 분할을 구성한다.
• 함수 $ f $의 등고선 집합에 의해 유도되는 동치관계에 대한 $ X $의 몫으로서 리브 공간을 정의하고, 이는 $ X $와 $ \mathbb{R}^k $의 계층적 분할과 호환된다.
• 도메인 $ X $에서 리브 공간으로의 몫 매핑과 리브 공간에서 $ \mathbb{R}^k $로의 매핑이 계층적 매핑이 되는 조건을 확립한다.
• 함수의 특이점 집합을 분석하여 고차원 모저스 함수로의 구성 확장을 시도한다.
• 특이점 집합의 구조를 활용하여 공도메인의 계층적 분할에서 다중 매개변수 필터링에 대응하는 하위-포스를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매핑 $ f: X \to \mathbb{R}^k $의 잰지 집합이 도메인 $ X $에 자연스러운 계층적 분할을 어떻게 유도하는가?
• RQ2 도메인 $ X $, 공도메인 $ \mathbb{R}^k $, 그리고 리브 공간 간의 매핑이 계층적 매핑이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 리브 공간에 사용된 계층적 분할 프레임워크를 고차원 모저스 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 고차원 모저스 함수의 특이점 집합이 공도메인의 계층적 분할을 어떻게 유도하는가?
• RQ5 계층적 분할된 공도메인의 하위-포스와 고차원 모저스 이론에서의 다중 매개변수 필터링 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 매핑 $ f: X \to \mathbb{R}^k $의 잰지 집합은 도메인 $ X $에 자연스럽게 계층적 분할을 유도하며, 이는 매끄러운 구조와 호환된다.
• 공도메인 $ \mathbb{R}^k $는 잰지 집합의 이미지에 의해 유도된 계층적 부분공간을 형성하며, 이는 계층적 분할을 상속한다.
• 리브 공간은 $ X $의 몫으로서 계층적 분할을 상속하며, 적절한 교차 조건 하에서 몫 매핑은 계층적 매핑이 된다.
• 함수 $ f $의 특이점들이 특정 정규성 조건을 만족할 경우, 리브 공간에서 $ \mathbb{R}^k $로의 매핑은 계층적 매핑이 된다.
• 고차원 모저스 함수의 특이점 집합은 공도메인에 계층적 분할을 유도하며, 이는 다중 매개변수 필터링의 정의를 가능하게 한다.
• 특이점 집합에서 유도된 계층적 공도메인의 하위-포스가 고차원 모저스 함수 설정에서 다중 매개변수 필터링과 동치임을 보였다.