[논문 리뷰] New characterization and parametrization of LCD Codes

Carlet, Claude, Sihem Mesnager외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 보완 이중(정의역) 코드(LCD)의 새로운 심플렉틱 기저 특성화를 제안하며, 이는 이중(binary) LCD 코드의 최소 거리에 대한 추측을 해결한다. 논문은 직교군의 LCD 코드에 대한 작용을 분석하고, 궤도 크기의 닫힌 형식 공식을 유도하며, 거의 모든 이진 LCD 코드가 홀수 유형이며, 그 이중도 홀수 유형임을 보여주고, $q$-진 LCD 코드 중 약 절반은 정규직교 기저를 갖는다($q$는 홀수 소수 거듭제곱).

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) cyclic codes were referred historically to as reversible cyclic codes, which had applications in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest in LCD codes. In particular, it has been shown that binary LCD codes play an important role in implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. In this paper, we first present a new characterization of binary LCD codes in terms of their symplectic basis. Using such a characterization,we solve a conjecture proposed by Galvez et al. on the minimum distance of binary LCD codes. Next, we consider the action of the orthogonal group on the set of all LCD codes, determine all possible orbits of this action, derive simple closed formulas of the size of the orbits, and present some asymptotic results of the size of the corresponding orbits. Our results show that almost all binary LCD codes are odd-like codes with odd-like duals, and about half of q-ary LCD codes have orthonormal basis, where q is a power of an odd prime.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 기저를 이용한 LCD 코드의 새로운 특성화를 제공하여, 더 깊은 구조적 분석을 가능하게 한다.
• 갈바스 등이 제기한 이진 LCD 코드의 최소 거리에 대한 추측을 해결한다.
• 모든 LCD 코드의 집합에 대한 직교군의 작용을 연구하고, 궤도를 분류한다.
• 이러한 궤도의 크기의 닫힌 형식 공식을 유도하고, 그 점점 커지는 행동을 분석한다.
• 특히 홀수 소수 거듭제수인 $q$에 대해 $q$-진 LCD 코드 중 정규직교 기저를 갖는 비율을 결정한다.

제안 방법

• 이중체 $\mathbb{F}_2$ 상의 대칭 행렬의 구조와 연결하여, 이중 LCD 코드의 새로운 특성화를 심플렉틱 기저를 통해 제안한다.
• 대칭 행렬을 분류하기 위해 등가관계 $M \sim QMQ^T$ 를 사용하고, 이를 LCD 코드 생성자와 연관시킨다.
• 직교군 $\mathbb{O}_n(q)$ 가 모든 LCD 코드의 집합에 작용하는 방식을 분석하고, 이중 코셋 $\mathrm{St}({\mathcal{C}}_\pm)\backslash\mathbb{O}_n(q)/\mathbb{P}_n$ 를 통해 궤도를 식별한다.
• 군의 순서 공식과 가우스 이항계수를 사용하여 궤도 크기 $|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$ 의 닫힌 형식 표현식을 도출한다.
• 점점 커지는 행동을 분석하여, $k, n-k \to \infty$ 일 때 $|\mathrm{LCD}_+|$ 와 $|\mathrm{LCD}|$ 의 비율이 $1/2$ 에 수렴함을 보이고, 특정 조건 하에서 이를 증명한다.
• 직교군과 안정화자(stabilizers)의 구조를 활용하여 궤도 크기를 계산하고, 주요 점점 커지는 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈바스 등이 제기한 이중 LCD 코드의 최소 거리는 얼마이며, 이는 그들의 추측을 만족하는가?
• RQ2 직교군은 모든 LCD 코드의 집합에 어떻게 작용하며, 이러한 작용의 가능한 궤도는 무엇인가?
• RQ3 홀수 $q$ 에 대해 $\mathbb{F}_q$ 상의 $[n,k]$ LCD 코드의 동치가 아닌 수에 대한 닫힌 형식 공식은 무엇인가?
• RQ4 $q$가 홀수 소수 거듭제곱일 때, $q$-진 LCD 코드 중 정규직교 기저를 갖는 비율은 얼마이며, 점점 커지는 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 $n,k \to \infty$ 일 때, LCD 코드가 홀수 유형과 짝수 유형 사이에 점점 커지는 분포는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 갈바스 등이 제기한 이중 LCD 코드의 최소 거리에 대한 추측은 새로운 심플렉틱 기저 특성화를 통해 해결되었다.
• 직교군의 작용에 의한 모든 궤도가 분류되었고, 궤도 크기의 닫힌 형식 공식이 도출되었다.
• $k, n-k \to \infty$ 일 때, $|\mathrm{LCD}_+|$ 와 $|\mathrm{LCD}|$ 의 점점 커지는 비율은 $1/2$ 에 수렴하며, 이는 거의 모든 이중 LCD 코드가 홀수 유형이며, 그 이중도 홀수 유형임을 나타낸다.
• $q$가 홀수 소수의 거듭제곱일 경우, 약 절반의 $q$-진 LCD 코드가 정규직교 기저를 갖는다. 이는 점점 커지는 극한 $\lim_{k,n-k\to\infty} \frac{|\mathrm{LCD}_+|}{|\mathrm{LCD}|} = \frac{1}{2}$ 에 의해 입증된다.
• $\mathrm{LCD}[n,k]_q$ 의 크기는 $\mathbb{F}_q^n$ 의 $k$ 차원 부분공간의 수의 $\frac{1}{\prod_{i=1}^\infty (1 + q^{-i})}$ 배로 점점 커지며, 이는 LCD 코드의 상당한 조밀도를 나타낸다.
• $|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$ 의 공식은 가우스 이항계수와 군의 순서로 명시적으로 주어지며, $n$ 과 $k$ 의 기수성에 따라 다른 표현식을 갖는다.