[논문 리뷰] Linear codes over Fq which are equivalent to LCD codes

Claude Carlet, Sihem Mesnager외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 13.

Coding theory and cryptography참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ_q$ 위의 임의의 선형 코드가 $q > 3$ 일 때 유클리드 LCD 코드와 동치임을 증명하며, $ℚ_{q^2}$ 위의 임의의 선형 코드가 $q > 2$ 일 때 히르미트 LCD 코드와 동치임을 보인다. 저자들은 선형 변환을 이용한 일반적인 구성 방법을 제시하고 이러한 동치성 관계가 코드 매개변수를 유지함을 증명하여, LCD 코드가 이러한 체 위의 일반 선형 코드와 동일한 渐近적 경계를 달성함을 시사한다.

ABSTRACT

Linear codes with complementary duals (abbreviated LCD) are linear codes whose intersection with their dual are trivial. When they are binary, they play an important role in armoring implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. Non-binary LCD codes in characteristic 2 can be transformed into binary LCD codes by expansion. In this paper, we introduce a general construction of LCD codes from any linear codes. Further, we show that any linear code over $\mathbb F_{q} (q>3)$ is equivalent to an Euclidean LCD code and any linear code over $\mathbb F_{q^2} (q>2)$ is equivalent to a Hermitian LCD code. Consequently an $[n,k,d]$-linear Euclidean LCD code over $\mathbb F_q$ with $q>3$ exists if there is an $[n,k,d]$-linear code over $\mathbb F_q$ and an $[n,k,d]$-linear Hermitian LCD code over $\mathbb F_{q^2}$ with $q>2$ exists if there is an $[n,k,d]$-linear code over $\mathbb F_{q^2}$. Hence, when $q>3$ (resp.$q>2$) $q$-ary Euclidean (resp. $q^2$-ary Hermitian) LCD codes possess the same asymptotical bound as $q$-ary linear codes (resp. $q^2$-ary linear codes). Finally, we present an approach of constructing LCD codes by extending linear codes.

연구 동기 및 목표

• 유한 체 위의 선형 코드가 LCD 코드와 동치임을 확인하고자 한다.
• 유클리드 및 히르미트 LCD 코드가 일반 선형 코드와 동일한 渐近적 경계를 달성할 수 있음을 확립하고자 한다.
• 임의의 선형 코드로부터 LCD 코드를 생성하는 일반적인 구성 방법을 제공하고자 한다.
• 일부 유한 체 위에서 모든 선형 코드가 LCD 코드와 동치인지 여부라는 열린 문제를 해결하고자 한다.
• 비이진 및 히르미트 설정으로의 LCD 코드 이론를 포괄적인 매개변수 커버리지와 함께 확장하고자 한다.

제안 방법

• 선형 변환 $L$을 통해 코드 $\mathcal{C}$에서 $\mathbb{F}_q^t$로의 일반적인 LCD 코드 구성법을 도입하여 $\mathcal{C}_L = \{ (\mathbf{c}, L(\mathbf{c})) \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C} \}$ 를 구성한다.
• 유클리드 힐 랭크 $h_E(\mathcal{C})$ 및 $\text{Rank}(L)$ 와 $L$ 의 전사성 조건을 사용하여 $\mathcal{C}_L$ 가 LCD 코드가 되는지 여부를 판단한다.
• 생성 행렬 $G$ 의 그램 행렬 $GG^T$ 에 행렬 분석을 적용하여, $\text{Rank}(L) < h_E(\mathcal{C})$ 이면 $\det(GG^T) = 0$ 임을 보이고, 이는 비-LCD 상태를 의미함을 밝힌다.
• 만약 $\mathcal{C} = \text{Ker}(L) + \text{Hull}_E(\mathcal{C})$ 이고 $L$ 가 전사적이며 $\text{Rank}(L) = h_E(\mathcal{C})$ 이면, $\mathcal{C}_L$ 는 유클리드 LCD 코드임을 증명한다.
• 유사한 구성법과 쌍대성 성질을 이용하여 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 히르미트 LCD 코드로 결과를 확장한다.
• 선형 형식 $L$ 이 힐의 여부를 생성하는 방식으로 선택될 경우 $\mathcal{C}_{L}$ 가 LCD 코드가 됨을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위의 모든 선형 코드가 $q > 3$ 일 때 유클리드 LCD 코드로 변환될 수 있는가?
• RQ2 유한체 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 모든 선형 코드가 $q > 2$ 일 때 히르미트 LCD 코드로 변환될 수 있는가?
• RQ3 선형 변환 $L$ 에 어떤 조건이 성립하면 구성된 코드 $\mathcal{C}_L$ 가 LCD 코드가 되는가?
• RQ4 유클리드 및 히르미트 LCD 코드는 일반 선형 코드와 동일한 渐近적 경계를 달성하는가?
• RQ5 힐 차원이 확장된 코드 $\mathcal{C}_L$ 의 LCD 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위의 임의의 선형 코드가 $q > 3$ 일 때 유클리드 LCD 코드와 동치임을 의미하며, 이는 원래 코드가 존재하는 모든 $[n,k,d]$ 매개변수에 대해 이러한 LCD 코드가 존재함을 의미한다.
• 유한체 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 임의의 선형 코드가 $q > 2$ 일 때 히르미트 LCD 코드와 동치임을 의미하며, 이는 타당한 매개변수에 대해 이러한 코드의 존재를 보장한다.
• 만약 $L$ 가 전사적이며 $\mathcal{C} = \text{Ker}(L) + \text{Hull}_E(\mathcal{C})$ 이면, 구성법 $\mathcal{C}_L = \{ (\mathbf{c}, L(\mathbf{c})) \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C} \}$ 은 LCD 코드를 생성한다.
• 만약 $\text{Rank}(L) < h_E(\mathcal{C})$ 이면 $\mathcal{C}_L$ 는 유클리드 LCD 코드가 아니며, 이는 실패에 대한 필수 조건을 제공한다.
• 만약 $q > 3$ 이면 $q$-진 유클리드 LCD 코드의 渐近적 성능은 일반 $q$-진 선형 코드와 동일하며, $q > 2$ 이면 $q^2$-진 히르미트 LCD 코드의 성능은 $q^2$-진 선형 코드와 동일하다.
• 논문은 최소 거리를 유지하면서 선형 코드를 LCD 코드로 확장하는 구축 가능한 방법을 제공하며, 길이는 $h_E(\mathcal{C})$ 만큼 증가한다.