[논문 리뷰] New constructions of MDS codes with complementary duals

Bocong Chen, Hongwei Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 25.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 코드를 이용하여 홀수 특성의 유한체 위에서 선형 보완-이중(LCD) 최대거리분리(MDS) 코드의 새로운 대수적 구성을 제시한다. 루트 분포에 기반한 새로운 가중치 부여 방식을 도입하고 쌍대 코드의 성질을 활용하여, 다섯 가지 다른 조건 하에서 $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 입증함으로써 임진(2016)의 이전 결과를 확장하고 개선하며 차원 $k$에 대한 제약 조건을 제거하였다. 주요 기여는 $n$과 $k$가 필드 크기 $q$에 가까울 때, 특히 $n < q$ 및 $2n - k < q \leq 2n$의 도전적인 영역에서 LCD MDS 코드에 대한 종합적인 존재성 프레임워크를 수립한 것이다.

ABSTRACT

Linear complementary-dual (LCD for short) codes are linear codes that intersect with their duals trivially. LCD codes have been used in certain communication systems. It is recently found that LCD codes can be applied in cryptography. This application of LCD codes renewed the interest in the construction of LCD codes having a large minimum distance. MDS codes are optimal in the sense that the minimum distance cannot be improved for given length and code size. Constructing LCD MDS codes is thus of significance in theory and practice. Recently, Jin (\cite{Jin}, IEEE Trans. Inf. Theory, 2016) constructed several classes of LCD MDS codes through generalized Reed-Solomon codes. In this paper, a different approach is proposed to obtain new LCD MDS codes from generalized Reed-Solomon codes. Consequently, new code constructions are provided and certain previously known results in \cite{Jin} are extended.

연구 동기 및 목표

• 특히 $n$이 $q$에 가까울 때, 홀수 특성의 유한체 위에서 LCD MDS 코드를 구성하는 열린 문제를 다루기.
• 이전 연구에서 $k$가 짝수여야 하는 제약 조건 등에 기인한 한계를 극복하기 위해, GRS 코드에 기반한 새로운 방법을 개발하기.
• $n$, $k$, $q$에 대한 여러 구조적 조건 하에서 $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 통합적으로 확립하기 위한 프레임워크를 제공하기.
• 기존 결과를 확장하여 제약 조건을 제거하고 이전에 다루지 않은 파rameter 영역을 커버하기.
• $n = q+1$, $n \mid q-1$, $n = p^\ell$ ($q = p^e$) 및 $n < q$ 및 $n+k \geq q+1$ 또는 $2n-k < q \leq 2n$를 포함하는 두 가지 새로운 경우에 대해 존재성 정리를 수립하기.

제안 방법

• 평가점 간 차이에 기반한 특정 가중치 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$를 정의하여 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 코드로부터 $k$-차원 LCD MDS 코드를 구성하기.
• GRS 코드의 쌍대 코드 특성화를 이용하여 $\mathcal{C}$와 $\mathcal{C}^\perp$ 간의 자명한 교차를 보장하는 조건을 유도함으로써 LCD 성질을 확보하기.
• 모든 $1 \leq i \leq n$ 에 대해 $v_i = \prod_{j=1}^{n-k} (\alpha_i - \alpha_{n+j})$ 를 정의하여, 코드의 구조가 $\mathbb{F}_q$ 내의 루트 분포와 연결되도록 하기.
• 다항식 보간과 루트 수세기 추론을 적용하여, $\mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp$ 내의 임의의 벡터는 반드시 영벡터여야 함을 보이고, LCD 조건을 증명하기.
• 다항식 곱의 차수 한계를 적용하여 유도된 함수방정식의 유일한 해는 영다항식임을 보임.
• 제시된 다섯 가지 파라미터 영역 각각에 대해 구축된 GRS 코드가 LCD 조건을 만족함을 확인함으로써 존재성을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 거듭제곱인 $q > 3$ 이고, $n$, $k$, $q$에 대해 어떤 조건에서 $q$-진 $[n,k]$ LCD MDS 코드가 존재하는가?
• RQ2 $n = q+1$, $n$이 $q-1$을 나누거나, $q = p^e$ 이고 $n = p^\ell$ 인 경우에, $k$를 짝수로 제한하지 않고도 LCD MDS 코드의 존재성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 $n < q$ 이고 $n+k \geq q+1$ 인 경우, 특히 $n$과 $k$가 $q$에 대해 크기가 클 때 LCD MDS 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ4 $2n - k < q \leq 2n$ 인 경우로, 이는 이전 연구에서 $q \gg n$ 이라는 조건이 필요로 했던 범위를 벗어나는 영역이므로, 이 경우로의 확장을 어떻게 할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 홀수 특성 필드에서 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 인 $[n,k]$ LCD MDS 코드에 대해 완전한 특성화를 제공하는가?

주요 결과

• 논문은 $n = q+1$ 이고 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 인 경우, $k$가 짝수라는 제약 조건을 제거함으로써 임진의 결과를 확장하여 $q$-진 $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 입증하였다.
• $n$ 이 $q-1$을 나누는 경우, $\mathbb{F}_q$ 위에서 모든 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 에 대해 $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 증명하였으며, 이는 $n = q-1$ 인 경우의 존재성을 확인한다.
• $q = p^e$ 이고 $n = p^\ell$ ($1 \leq \ell \leq e$) 인 경우, 모든 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 에 대해 $[n,k]$ LCD MDS 코드를 구성하였으며, 이는 $n = q$ 인 경우를 포함한다.
• $n < q$ 이고 $n + k \geq q + 1$ 인 조건 하에서, $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 입증하여 이전 구성에서의 빈도를 메웠다.
• $n < q$ 이고 $2n - k < q \leq 2n$ 인 조건 하에서, $[n,k]$ LCD MDS 코드의 존재성을 확립하여, $n$과 $k$가 $q$에 가까운 경우에 대한 새로운 가족을 제공하였다.
• 결과적으로, 이 논문은 임진(2016)의 작업을 일반화하고 확장하여 이전에 다루지 않은 케이스를 커버하고, 특히 $n \approx q$ 인 경우 $k$에 대한 제약 조건을 제거함으로써 기존 결과를 확장하였다.