[논문 리뷰] New criterion of physical measures for partially hyperbolic diffeomorphisms

Yongxia Hua, Fan Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 물리적 측도에 대한 새로운 기준을 수립한다. 일반적인 궤도의 케라로 평균이 집합 $\operatorname{G}^u(f)$에 속함을 보여주며, 이 집합은 국소 엔트로피에 대한 페신 공식을 만족한다. 핵심 결과는 $C^{1+}$ 미분구상에서 중심이 일차원인 경우 거의 모든 점이 중심 거듭제곱 지수가 비영인 물리적 측도의 기수에 속하거나 시간 평균에서 중심 거듭제곱 지수가 0이 되며, 이는 $C^{1+\alpha}$ 설정을 초월한 $C^1$ 동역학 이론에서 오랫동안 남아있던 격차를 해결한다.

ABSTRACT

We show that for any $C^1$ partially hyperbolic diffeomorphism, there is a full volume subset, such that any Cesaro limit of any point in this subset satisfies the Pesin formula for partial entropy. This result has several important applications. First we show that for any $C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center, there is a full volume subset, such that every point in this set belongs to either the basin of a physical measure with non-vanishing center exponent, or the center exponent of any limit of the sequence $\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}δ_{f^i(x)}$ is vanishing. We also prove that for any diffeomorphism with mostly contracting center, it admits a $C^1$ neighborhood such that every diffeomorphism in a $C^1$ residual subset of this open set admits finitely many physical measure, whose basins have full volume.

연구 동기 및 목표

• 기존 결과가 $C^{1+\alpha}$ 정규성에 국한되어 있는 $C^1$ 부분적으로 초구형 미분구상에 대한 물리적 측도 이론의 격차를 메우기 위해.
• 국소 엔트로피에 대한 페신 공식을 만족하는 측도들로 구성된 자연스러운 후보 집합 $\operatorname{G}^u(f)$를 식별하여, 일반적인 점에 대한 경험 측도의 약한* 수렴 극한으로서 유일한 가능성을 보장하기 위해.
• $C^{1+}$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 중심이 일차원인 경우 거의 모든 점이 중심 거듭제곱 지수가 비영인 물리적 측도의 기수에 속하거나 시간 평균에서 중심 거듭제곱 지수가 0이 되는 것을 증명하기 위해.
• $C^1$ 잔여 집합 내에서 대부분 수축하는 미분구상의 $C^1$ 근방에서 물리적 측도의 유한성과 전체 체적 기수를 확립하기 위해.

제안 방법

• $\operatorname{G}^u(f)$를 정의하여, 불변 측도 중에서 불변 분할의 국소 엔트로피가 페신 공식을 만족하는 집합으로 정의한다: $h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \geq 0$.
• $C^1$ 부분적으로 초구형 미분구상에 대해 전체 체적 부분집합 $\Gamma$가 존재하여, $\Gamma$에 속한 모든 $x$에 대해 임의의 궤도의 케라로 평균이 $\operatorname{G}^u(f)$에 속함을 증명한다. 이는 불안정한 리프의 구조와 체적 성장 제어를 통해 이루어진다.
• 균일한 왜곡 추정과 불안정한 디스크 주변의 원환형 이웃 $D_{b,n}$을 사용하여 궤도가 일반적인 이웃에서 벗어날 수 있는 '나쁜' 영역의 체적을 제한한다.
• 불안정한 리프 내의 디스크의 전이역을 반복적으로 선택하는 재귀적 선택 과정을 적용하여 일반적인 점들을 덮는다. 이때 체적 비율의 합산 가능성을 통해 덮지 못한 집합의 총 체적이 0이 됨을 보장한다.
• $\operatorname{G}^u(f)$가 컴act하고 볼록임을 이용하고, $C^{1+\alpha}$ 시스템에서는 루엘의 부등식이 $h_\mu(f,\mathcal{F}^u) - \int \log \det(Tf|_{E^u}) \, d\mu \leq 0$를 유도하므로, $\operatorname{G}^u(f)$는 등식 사례를 포괄함을 보여준다.
• 최소한의 불안정한 분할과 음의 중심 리아풀로프 지수를 이용하여 물리적 측도가 깁스 $u$-상태임을 보장하고, 이 기준을 적용하여 기수가 전체 체적을 가짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 측도에 대해 $C^{1+\alpha}$ 정규성이나 호일더 포텐셜을 요구하지 않는 기준을 $C^1$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 특징지을 수 있는가?
• RQ2 $C^{1+}$ 미분구상에서 중심이 일차원인 경우, 중심 거듭제곱 지수가 비영인 물리적 측도의 기수가 아닌 점들에 대해 시간 평균의 중심 거듭제곱 지수가 거의 항상 0이 되는가?
• RQ3 $C^1$ 잔여 부분집합 내에서 대부분 수축하는 미분구상의 $C^1$ 근방에 속한 모든 $C^1$ 미분구상은 유한 개의 물리적 측도를 가지며, 각각의 기수가 전체 체적을 가짐을 갖는가?
• RQ4 $\operatorname{G}^u(f)$는 절대 연속성이 부족하여 페신 공식이 직접 적용되지 않는 $C^1$ 동역학에서도 물리적 측도에 대한 자연스러운 후보 집합인가?
• RQ5 불안정한 리프에서의 체적 성장 추론을 사용하여, 좋은 전이역으로 덮이지 못한 점들의 집합이 측도 0임을 보일 수 있는가? 이를 통해 전체 체적 기수를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• $C^1$ 부분적으로 초구형 미분구상에 대해 전체 체적 부분집합 $\Gamma$가 존재하여, $\Gamma$에 속한 모든 $x$에 대해 경험 측도 $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)}$의 약한* 수렴 극한이 $\operatorname{G}^u(f)$에 속하며, 국소 엔트로피에 대한 페신 공식을 만족한다.
• $C^{1+}$ 부분적으로 초구형 미분구상에서 중심이 일차원인 경우 거의 모든 점이 중심 거듭제곱 지수가 비영인 물리적 측도의 기수에 속하거나 시간 평균에서 중심 거듭제곱 지수가 0이 된다.
• $C^1$ 근방에서 대부분 수축하는 미분구상의 $C^1$ 잔여 부분집합 내에서 유한 개의 물리적 측도를 가지며, 각각의 기수가 전체 체적을 가짐을 보였다.
• $\operatorname{G}^u(f)$는 항상 비어 있지 않고, 컴act하며, 볼록하므로, 어떤 $C^1$ 미분구상에 대해서나 물리적 측도에 대한 강력한 후보로 작용한다.
• '나쁜' 이웃 영역의 체적은 $\lambda^n$에 따라 지수적으로 감소하며, 여기서 $\lambda = \|Tf^{-1}|_{E^u}\| < 1$ 이므로, 합산 가능성을 통해 모순 추론을 통해 전체 측도 커버리지가 가능하다.
• 전이역 디스크와 그 '나쁜' 이웃의 구성은 덮지 못한 집합의 불안정한 체적이 0임을 보장하며, 잔여 경우 기수의 전체 체적을 증명한다.