[논문 리뷰] New Generalization of Eulerian polynomials and their applications

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 06.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 $a \in \mathbb{C}$ 와 양의 실수 $b \in \mathbb{R}^+$ 를 매개변수로 사용하여 오일러 다항식의 새로운 이중 매개변수 일반화를 제안한다. 이는 지수 생성함수를 통해 정의되며, 다이로그함수, 베르슈타인 다항식, 베르누이 수 및 오일러 수, 제노치 수, 오일러-제타 함수와의 연결 고리를 설정한다. 주요 결과로는 $a = -1$ 에서 다항식에 대한 윌트의 공식이 도출되며, 이는 $p$-진 페르미온 적분과 연결되고 음의 정수에서의 보간을 제공한다.

ABSTRACT

In the present paper, we introduce Eulerian polynomials with a and b parameters and give the definition of them. By using the definition of generating function for our polynomials, we derive some new identities in Theory of Analytic Numbers. Also, we give relations between Eulerian polynomials with a and b parameters, Bernstein polynomials, Poly-logarithm function, Bernoulli numbers and Euler numbers. Moreover, we see that our polynomials at a =-1 are related to Euler-Zeta function at negative inetegers. Finally, we get Witt's formula for new generalization of Eulerian polynomials which we express in this paper.

연구 동기 및 목표

• 복소수 $a$ 와 양의 실수 $b$ 를 가진 새로운 이중 매개변수 가족으로 오일러 다항식을 확장하는 것.
• 일반화된 다항식과 다이로그함수, 베르슈타인 다항식, 제타 함수 등의 특수 함수 간의 관계를 탐구하는 것.
• 다항식과 베르누이 수, 오일러 수, 제노치 수를 연결하는 명시적 공식을 유도하는 것.
• 다항식이 $a = -1$ 에서 $p$-진 페르미온 적분 표현(윌트의 공식)을 수립하는 것.
• 오일러-제타 함수를 이용하여 다항식이 음의 정수에서 어떻게 보간되는지 제공하는 것.

제안 방법

• 지수 생성함수 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{1-a}{b^{t(1-a)} - a}$ 를 통해 일반화된 오일러 다항식 $\mathcal{A}_n(a,b)$ 를 정의한다.
• 생성함수 기법을 사용하여 다이로그함수, 베르슈타인 다항식, 제2종 스테링 수와 관련된 항등식을 유도한다.
• 급수 전개와 적분 표현을 통해 일반화된 다항식과 고전적 특수 수열 간의 관계를 설정한다.
• $p$-진 페르미온 적분을 적용하여 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 에 대한 윌트의 공식을 유도하며, 적분 $\int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$ 을 사용한다.
• 오일러-제타 함수 $\zeta_E(s) = 2\sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^j}{j^s}$ 를 활용하여 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 를 $2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$ 으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러 다항식은 두 매개변수 $a$ 와 $b$ 를 어떻게 일반화하여 그 해석적 및 산술적 성질를 확장할 수 있는가?
• RQ2 새로운 일반화된 오일러 다항식과 다이로그함수, 베르슈타인 다항식 등의 고전적 특수 함수 사이에 어떤 관계가 존재하는가?
• RQ3 일반화된 다항식은 명시적 공식을 통해 베르누이 수, 오일러 수, 제노치 수와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ4 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 의 $p$-진 $\mu_{-1}$-적분 표현은 무엇이며, 이는 어떻게 윌트의 공식을 도출하는가?
• RQ5 $a = -1$ 에서의 값 $\mathcal{A}_n(-1,b)$ 는 음의 정수에서 오일러-제타 함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 일반화된 오일러 다항식은 $\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} (1 - 2^{n+1}) B_{n+1}}{n+1}$ 를 만족하며, 이는 베르누이 수와 연결된다.
• 다항식이 $a = -1$ 에서 제노치 수와 관련되며, $\mathcal{A}_n(-1,b) = \frac{2^{n+1} (\ln b)^{n+1} G_{n+1}}{n+1}$ 로 표현되며, 여기서 $G_n$ 은 제노치 수이다.
• 명시적 보간 공식이 도출되었으며, $\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^n (\ln b)^n \zeta_E(-n)$ 이다. 이는 다항식이 음의 정수에서 오일러-제타 함수와 연결됨을 보여준다.
• 윌트의 공식이 수립되었으며, $\mathcal{A}_n(-1,b) = (\ln b)^n 2^n \int_X \upsilon^n d\mu_{-1}(\upsilon)$ 이다. 이는 $p$-진 적분 표현을 제공한다.
• $p$-진 페르미온 적분으로부터 $\sum_{n=0}^\infty \mathcal{A}_n(-1,b) \frac{t^n}{n!} = \frac{2}{b^{2t} + 1}$ 이 도출되었으며, 이는 윌트의 공식을 확인한다.
• 일반화된 다항식이 $\sum_{j=0}^\infty (-1)^j e^{jt \ln b}$ 를 포함하는 생성함수를 만족하며, 이는 시리즈 항등식 $\mathcal{A}_n(-1,b) = 2^{n+1} (\ln b)^n \sum_{j=1}^\infty (-1)^j j^n$ 을 이끌어낸다.