[논문 리뷰] New observations on cohomology rings of Reeb spaces of explicit fold maps and manifolds admitting these maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 명시적인 다양체 위에서 새로운 폴드 맵 구조를 제시하고, 그들의 리브 공간의 코homology 링을 계산하여 새로운 위상적 유형을 드러낸다. 안정적인 폴드 맵에 S-버블링 연산과 연결합을 적용함으로써, 계수환에 따라 서로 동형이지만 ℤ/pℤ 또는 ℤ/2pℤ에 대해서는 동형이 아닌 코homology 링을 갖는 리브 공간을 갖는 새로운 폴드 맵을 구성한다. 이는 리브 공간 불변량에서 새로운 위상적 차이를 보여준다.

ABSTRACT

As a branch of algebraic and differential topology of manifolds, the theory of Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps and its application to algebraic and differential topology of manifolds is fundamental, important and interesting. This paper is on explicit construction of fold maps and homology groups and cohomology rings of their Reeb spaces: they are defined as the spaces of all connected components of preimages of the maps, and in suitable situations inherit some topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Explicit construction of the maps is a fundamental and difficult task even on manifolds which are not so complicated. The author has constructed explicit fold maps systematically and performed several calculations of homology groups and cohomology rings of the Reeb spaces. This paper concerns new observations on this task.

연구 동기 및 목표

• 다양체 위에서 명시적인 폴드 맵을 체계적으로 구성하여 리브 공간을 통한 그들의 위상적 불변량을 연구한다.
• 이러한 폴드 맵에서 유도된 리브 공간의 코homology 링을 계산하고 비교한다.
• ℤ에서 구별되지 않지만 유한환에서 구별되는 새로운 리브 공간의 위상적 유형을 규명한다.
• S-버블링과 연결합을 통한 방법을 개발하여, 제어된 호몰로지 및 코homology 성질을 갖는 새로운 안정 폴드 맵을 생성한다.

제안 방법

• 저자는 안정적인 특별한 일반 맵에 S-버블링 연산을 적용하여 새로운 폴드 맵을 생성하며, 생성된 다각형은 원래 맵의 리브 공간 내부에 위치한다.
• 원래 폴드 맵과 S-버블링 연산의 유한 반복 결과 사이에 연결합을 수행하여 새로운 폴드 맵을 생성한다.
• 구성은 결과 리브 공간의 호몰로지 모듈러스가 주어진 모듈러스 G_j와 원래 모듈러스의 직합과 동형이 되도록 보장한다.
• 자연적 사영을 통해 코homology 링의 구조가 유지되며, 오직 차수 n에서만 G_n의 부분모듈러스 H가 추가된다.
• 모든 버블의 전이 성분이 고정된 호모토피 구면과 미분형일 것이라는 가정에 기반하며, 이는 동치류와 위상적 제어를 유지한다.
• 이론적 도구로는 리브 공간을 다각형의 전이 성분의 연결 성분에 대한 몫으로 간주하고, 안정 폴드 맵 이론 및 호모토피 구면 분류 결과를 응용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℤ에서 동형이지만 ℤ/pℤ 또는 ℤ/2pℤ에서 동형이 아닌 코homology 링을 갖는 새로운 폴드 맵을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 S-버블링 연산을 반복하고 연결합과 조합함으로써 리브 공간의 호몰로지 및 코homology를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 리브 공간의 호몰로지 모듈러스가 주어진 PID R 위에서 특정 분해를 갖는다는 조건은 무엇인가?
• RQ4 리브 공간의 코homology 링 구조는 새로운 폴드 맵의 위상적 유형을 어떻게 식별하는가?

주요 결과

• S-버블링과 연결합을 통해 구성된 폴드 맵의 리브 공간은 PID R 위에서 원래 모듈러스와 주어진 모듈러스 G_j의 직합과 동형인 호몰로지 모듈러스를 갖는다.
• j < n 인 경우, 코homology 링 H^j(W_{f''}; R)은 H^j(W_f; R) ⊕ G_j와 동형이며, 자연적 사영에 의해 유도된다.
• 차수 n에서, 코homology 모듈러스 H^n(W_{f''}; R)은 H^n(W_f; R) ⊕ H와 동형이며, 여기서 H는 G_n의 비자명한 자유 부분모듈러스이다.
• 새로운 리브 공간의 코homology 링은 H^*(W_{f'}; R)의 곱과 자연적 사영을 조합하여 구성되며, 오직 차수 n에서만 구조가 변경된다.
• 구성된 리브 공간은 새로운 위상적 유형을 나타낸다: ℤ 위에서는 코homology 링이 동형이지만 ℤ/pℤ 또는 ℤ/2pℤ 위에서는 동형이 아니며, 미세하지만 중요한 차이를 보여준다.
• 이 방법은 이전의 구성들(예: [8])의 것과는 동형이지만 ℤ 위에서는 동형이지만 ℤ/pℤ 또는 ℤ/2pℤ 위에서는 동형이 아닌 코homology 링을 갖는 리브 공간을 갖는 폴드 맵을 성공적으로 생성한다.