[논문 리뷰] New ways to multiply 3 x 3-matrices

Marijn J. H. Heule, Manuel Kauers외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 24.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정확히 23개의 스칼라 곱셈을 사용하는 3×3 행렬 곱셈에 대해 13,000개 이상의 상호로 비동치인 새로운 방법을 제시한다. 이는 기존에 알려진 알고리즘의 집합을 크게 확장한 것이다. SAT 해법과 ℤ₂ 위에서의 대수적 매개변수화를 통해 최대 17개의 자유 매개변수를 가진 해의 가족을 구성하였으며, 모든 계수가 정수임을 보여주어 브레ント 방정식의 해 공간의 차원이 최소 17 이상임을 증명하였다.

ABSTRACT

It is known since the 1970s that no more than 23 multiplications are required for computing the product of two 3 x 3-matrices. It is not known whether this can also be done with fewer multiplications. However, there are several mutually inequivalent ways of doing the job with 23 multiplications. In this article, we extend this list considerably by providing more than 13 000 new and mutually inequivalent schemes for multiplying 3 x 3-matrices using 23 multiplications. Moreover, we show that the set of all these schemes is a manifold of dimension at least 17.

연구 동기 및 목표

• 정확히 23개의 스칼라 곱셈을 사용하는 3×3 행렬 곱셈 방법의 기존 집합을 체계적으로 확장하기 위해.
• 정수 계수를 가진 새로운 가족의 방법을 식별하고 생성하여 임의의 계수 환에서의 적용 가능성을 보장하기 위해.
• 3×3 행렬 곱셈에 대한 브레ント 방정식의 해 공간의 차원을 결정하기 위해.
• 23개의 곱셈 방법에서의 구조적 단순화를 분석하여 22개의 곱셈으로 간소화 가능한 방법이 존재하는지 탐색하기 위해.
• SAT 솔버와 ℤ₂ 위에서의 선형 대수를 활용한 체계적인 방법을 개발하고 적용하기 위해.

제안 방법

• 기존의 해인 라더만의 방법과 쿠르티에 등이 제안한 방법을 기반으로 유한체 ℤ₂ 위에서 유효한 행렬 곱셈 방법을 찾기 위해 SAT 솔버를 활용한다.
• A, B, C 텐서의 항목을 신선한 변수로 대체하여 자유 매개변수를 도입하는 체계적인 알고리즘을 적용하고, 이를 통해 유도된 선형 시스템을 해결한다.
• 그로버 기저와 변수 치환과 같은 대수적 기법을 적용하여 분모를 제거하고, 얻어진 가족 내 매개변수의 독립성을 검증한다.
• 이전에 생성된 방법들에 대해 매개변수화 과정을 반복적으로 적용하여 자유 매개변수의 수를 늘리며, 일부 가족에서는 최대 17개의 매개변수를 달 đạt하였다.
• 해를 ℤ₂에서 임의의 계수 환으로 올리되, 이중선형 구조와 정수 계수를 유지한다.
• 텐서 곱 산술을 사용하여 A, B, 또는 C 텐서에서 선형 종속성에 의해 항을 융합함으로써 23개의 곱셈 방법 중 일부가 22개의 곱셈으로 단순화될 수 있는지 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확히 23개의 스칼라 곱셈을 사용하는 상호로 비동치인 3×3 행렬 곱셈 방법은 총 몇 개인가?
• RQ2 23개의 곱셈과 정수 계수를 가진 3×3 행렬 곱셈 방법의 가족에서 자유 매개변수의 최대 수는 얼마인가?
• RQ3 A, B, 또는 C 텐서에서 선형 종속성에 의해 항을 융합함으로써 23개의 곱셈 방법이 22개의 곱셈으로 단순화될 수 있는가?
• RQ4 3×3 행렬 곱셈에 대한 브레ント 방정식이 정의하는 해의 다양체의 차원은 얼마인가?
• RQ5 이미 발견된 바가 있는 것 외에, 계수 집합 {-1, 0, 1}을 가진 추가적인 3×3 행렬 곱셈 방법이 존재하는가?

주요 결과

• 저자들은 정확히 23개의 스칼라 곱셈을 사용하는 13,000개 이상의 새로운 상호로 비동치인 3×3 행렬 곱셈 방법을 발견하였다.
• 모든 새로운 방법의 계수는 {-1, 0, 1}에 속하며, 이는 이전의 분수 계수를 가진 방법들과는 달리 임의의 계수 환에서 적용 가능함을 보장한다.
• 3×3 행렬 곱셈에 대한 브레엄 방정식의 해 공간의 차원은 최소 17 이상이며, 이는 최대 17개의 독립적 매개변수를 가진 매개변수화된 가족이 존재함을 통해 입증되었다.
• 저자들은 SAT 기반의 검색과 대수적 매개변수화를 통해 최대 17개의 매개변수를 가진 가족을 성공적으로 구성하였으며, 최종 표현식에 분모가 존재하지 않았다.
• A, B, 또는 C 텐서에서 선형 종속성을 통해 항을 융합함으로써 23개의 곱셈 방법 중 어느 것도 22개의 곱셈으로 단순화되지 않았다.
• 이 방법을 통해 라더만의, 쿠르티에 등의, 오 등의, 그리고 스미르노프의 방법을 기반으로 한 새로운 가족을 발견하였으며, 각각 0, 6, 10, 14개의 매개변수를 가졌으며, 이는 이전 결과를 크게 확장하였다.