[논문 리뷰] Non-Hermitian $\cal PT$-symmetric quantum mechanics of relativistic particles with the restriction of mass

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 28.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 디랙 방정식에 γ₅에 의존하는 질량 항(m → m₁ + γ₅m₂)을 도입함으로써, 비헤르미트성 PT 대칭 확장된 상대론적 양자역학을 조사한다. 이는 비틀림이 없는 PT 대칭을 유지하기 위해 질량 제한 조건 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)를 도출하며, 이는 일반 페르미온(m₂ ≤ m₁/√2)과 이국적 페르미온(m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁)으로 나뉘는 두 가지 다른 입자 영역을 드러낸다. 일반 페르미온은 표준 디랙 이론로의 극한을 가지며, 이국적 페르미온은 그러한 극한이 없고 암흑물질 후보자일 수 있다.

ABSTRACT

The modified Dirac equations for the massive particles with the replacement of the physical mass $m$ with the help of the relation $m ightarrow m_1+ γ_5 m_2$ are investigated. It is shown that for a fermion theory with a $γ_5$-mass term, the limiting of the mass specter by the value $ m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place. In this case the different regions of the unbroken $\cal PT$ symmetry may be expressed by means of the restriction of the physical mass $m\leq m_{max}$. It should be noted that in the approach which was developed by C.Bender et al. for the $\cal PT$-symmetric version of the massive Thirring model with $γ_5$-mass term, the region of the unbroken $\cal PT$-symmetry was found in the form $m_1\geq m_2$ \cite{ft12}. However on the basis of the mass limitation $m\leq m_{max}$ we obtain that the domain $m_1\geq m_2$ consists of two different parametric sectors: i) $0\leq m_2 \leq m_1/\sqrt{2}$ -this values of mass parameters $m_1,m_2$ correspond to the traditional particles for which in the limit $m_{max} ightarrow \infty$ the modified models are converting to the ordinary Dirac theory with the physical mass $m$; ii)$m_1/\sqrt{2}\leq m_2 \leq m_1$ - this is the case of the unusual particles for which equations of motion does not have a limit, when $m_{max} ightarrow \infty$. The presence of this possibility lets hope for that in Nature indeed there are some "exotic fermion fields". As a matter of fact the formulated criterions may be used as a major test in the process of the division of considered models into ordinary and exotic fermion theories. It is tempting to think that the quanta of the exotic fermion field have a relation to the structure of the "dark matter".

연구 동기 및 목표

• 비헤르미트성 PT 대칭 프레임워크 내에서 디랙 방정식에 γ₅에 의존하는 질량 항(m₁ + γ₅m₂)이 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 유도된 해밀토니안의 PT 대칭이 유지되는 조건을 규명하기 위해.
• 동일한 대수적 구조에서 유래한 일반 페르미온과 이국적 페르미온 상태 사이의 물리적 구별을 탐구하기 위해.
• PT 대칭과 기하학적 제약 조건의 결과로서 질량 스펙트럼 제한 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)를 수립하기 위해.
• m_max → ∞ 극한에서 표준 디랙 이론으로 수렴하지 않는 이국적 페르미온 상태가 암흑물질과 관련이 있을 수 있는지 평가하기 위해.

제안 방법

• γ₅ 질량 항을 포함한 수정된 디랙 방정식을 수학적으로 정의: (p₀ − α̂·p − β̂(m₁ + γ₅m₂))Ψ = 0.
• 비헤르미트성 해밀토니안 H = α̂·p + β̂(m₁ + m₂γ₅)을 유도하며, 특정 조건 하에서 PT 대칭을 가짐.
• PT 대칭 기준 [H, PT]ψ = 0을 적용하여 비틀림이 없는 대칭 영역을 식별함.
• 보조 매개변수 변환 ν₁ = m₁/M, ν₂ = m₂/M을 사용하여 (ν₁, ν₂) 평면 상의 대칭 영역을 매핑함.
• 비틀림이 없는 PT 대칭 영역을 정의하기 위해 조건 m₁² ≥ m₂²를 적용하며, 이는 세 개의 하위영역으로 분할됨.
• de Sitter 운동량 공간에서 유한한 질량 스펙트럼의 기하학적 제약 조건에서 질량 제한 m_max = m₁²/(2m₂)를 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 γ₅ 질량 항이 있는 PT 대칭 디랙 이론에서 질량 제한 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ2 조건 m₁ ≥ m₂가 매개변수 공간을 페르미온 행동의 물리적으로 다른 영역으로 나누는 이유는 무엇인가?
• RQ3 왜 영역 m₂ ≤ m₁/√2 와 m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁은 각각 일반 페르미온과 이국적 페르미온에 해당하는가?
• RQ4 이국적 영역에서 표준 디랙 이론로의 극한이 존재하지 않는 것은 m_max → ∞ 극한에서 물리적 질량 한계가 존재하지 않는 것과 관련이 있는가?
• RQ5 기하학적 접근(데 시터 운동량 공간)이 유한한 질량 스펙트럼을 가진 비헤르미트성, PT 대칭 해밀토니안을 생성하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• γ₅ 질량 항을 포함한 수정된 디랙 해밀토니안은 비헤르미트성이지만, m₁² ≥ m₂² 조건을 만족할 경우 비틀림이 없는 PT 대칭을 보인다.
• 유한한 질량 스펙트럼은 de Sitter 운동량 공간의 기하학적 제약 조건에서 유도된 조건 m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)에 의해 강제된다.
• 매개변수 공간 m₁² ≥ m₂²는 세 개의 하위영역으로 나뉘며, 이는 두 개의 이국적 영역(ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁ 및 −ν₁ ≤ ν₂ ≤ −ν₁/√2)과 하나의 일반 영역(−ν₁/√2 ≤ ν₂ ≤ ν₁/√2)을 포함한다.
• 일반 페르미온 영역(m₂ ≤ m₁/√2)는 m_max → ∞ 극한에서 표준 디랙 이론으로의 부드러운 극한을 허용하지만, 이국적 영역(m₁/√2 ≤ m₂ ≤ m₁)은 그렇지 않다.
• 이국적 페르미온은 표준 형태로 수렴하지 않는 수정된 디랙 방정식을 특징으로 하며, 이는 본질적으로 다른 역학을 의미한다.
• γ₅ 질량 항을 구성하는 대수적 접근은 이전에 기하 모델에서 최대 질량을 가진 경우에 유도된 동일한 이국적 입자 구조를 재현할 수 있으며, 이는 이국적 페르미온 상태가 기하학적 형식에만 국한되지 않는다는 것을 보여준다.