[논문 리뷰] Non-invertible Symmetries and Higher Representation Theory I

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 44인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 유한 고차군을 게이지화하여 나타나는 전 세계 범주 대칭을 개발하고, 전체 대칭 카테고리가 (D-1)-representation의 (D-1)-fusion 카테고리임을 보이며, D=3에서 유한 그룹과 분리 2-그룹을 분석한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to investigate the global categorical symmetries that arise when gauging finite higher groups in three or more dimensions. The motivation is to provide a common perspective on constructions of non-invertible global symmetries in higher dimensions and a precise description of the associated symmetry categories. This paper focusses on gauging finite groups and split 2-groups in three dimensions. In addition to topological Wilson lines, we show that this generates a rich spectrum of topological surface defects labelled by 2-representations and explain their connection to condensation defects for Wilson lines. We derive various properties of the topological defects and show that the associated symmetry category is the fusion 2-category of 2-representations. This allows us to determine the full symmetry categories of certain gauge theories with disconnected gauge groups. A subsequent paper will examine gauging more general higher groups in higher dimensions.

연구 동기 및 목표

• 차원 D>2에서 유한 비가역 대칭의 체계적 구성을 동기를 부여한다.
• 유한 고차군을 게이지화하여 생기는 대칭 카테고리에 대한 정확한 수학적 설명을 제공한다.
• 삼차원 이론에서 유한 그룹과 분리 2-그룹에 초점을 맞춰 고차 표현 구조를 밝힌다.
• 응축 결함(condensation defects)과 SPT 삽입을 결과적인 위상적 표면 결함과 연결한다.
• 분리된 게이지 그룹을 가진 게이지 이론에 이 프레임워크를 적용하고 고차 차원으로의 확장을 개략한다.

제안 방법

• 상위 이론에서 G 대칭 결함의 네트워크를 분석하여 3차원에서 유한 그룹 G를 게이지화한다.
• G-궤와 코호몰로지 클래스 등의 데이터로 간단한 위상적 표면에 라벨을 붙이고 이를 G의 불가약 2-표현과 동형으로 식별한다.
• A가 아벨이고 Postnikov 클래스가 0인 경우 G = A[1] ⋊ H인 분리 2-그룹으로 구성을 확장한다.
• 대칭 카테고리를 2-표현의 융합 2-카테고리 2-Rep(G)로 기술한다.
• 부분군과 SPT 위상을 통한 동등한 특성화로 간단한 표면에 대한 물리적 직관을 제공한다.
• 융합, 1-모폴리즘, 1-모폴리즘의 합성을 계산하여 2-표현 구조와 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원에서 유한 그룹과 유한 분리 2-그룹을 게이지화할 때 나타나는 전체 대칭 카테고리는 무엇인가?
• RQ2 게이지된 이론의 간단한 위상 표면은 게이지된 그룹의 고차 표현(2-표현)과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 응축 결함과 SPT 삽입은 D=3 게이지화에서 위상 결함을 어떻게 정리하고 분류하는가?
• RQ4 분리된 게이지 그룹을 가진 이론에서 1-형 및 0-형 구성요소를 게이지화하는 영향은 무엇인가?
• RQ5 유한 그룹과 분리 2-그룹에 대한 결과가 고차 차원에서의 일반적 고차 그룹 게이지화에 어떻게 정보를 주는가?

주요 결과

• 3D 게이지 이론에서 간단한 위상 표면은 G-궤, H^2(G, U(1)^O)의 코호몰로지 클래스, 그리고 (2-그룹의 경우) A에 대한 일련의 문자 χ_j: A → U(1)로 라벨링된다.
• 스펙트럼 위상 결함과 그 융합/모폼리즘 구조는 유한 그룹 G의 2-표현 2-Rep(G) 및 그 분리 2-그룹의 게이지 이론의 대칭 카테고리를 재현한다.
• 분리 2-그룹 G = A[1] ⋊ H의 경우 간단한 표면은 H-궤, H^2(G, U(1)^O)의 코호몰로지 클래스, 그리고 호환성을 만족하는 A-문자들의 집합에 의해 라벨링되며, 이로써 2-표현 설명이 얻어진다.
• 3차원에서 분리된 게이지 그룹을 가진 게이지 이론의 대칭 카테고리는 2-Rep(G)로 주어지며, 응축 및 SPT 결함을 포함한 구성으로 확장된다.
• 프레임워크를 통해 게이지화 절차를 이용해 전체 대칭 카테고리를 계산하는 프레임워크가 확립되었으며: 객체, 1-모폴리즘, 그리고 융합 규칙은 2-표현 이론과 일치한다.
• 결과는 간단한 위상 표면의 물리적 구성과 2-표현 및 Mackey-type 유도에 대한 수학적 설명을 연결한다.