[논문 리뷰] Nonlinear Data-Enabled Prediction and Control

Yingzhao Lian, Colin N. Jones|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 08.

Control Systems and Identification참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 재생 커널 힐버트 공간(RKHS)에 시스템 동역학을 통합함으로써 Willems의 기본 렘마를 비선형 시스템으로 확장하여 커널화된 선형 함수형을 통한 데이터 기반 예측 및 예측 제어를 가능하게 한다. 주요 기여는 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간에서 비선형 동역학의 커널화된 특성화이며, 이는 이론적 분석과 수치 구현을 통해 검증된다.

ABSTRACT

The Willems' fundamental lemma, which characterizes linear dynamics with measured trajectories, has found successful applications in controller design and signal processing, which has driven a broad research interest in its extension to nonlinear systems. In this work, we propose to apply the fundamental lemma to a reproducing kernel Hilbert space in order to extend its application to a class of nonlinear systems and we show its application in prediction and in predictive control.

연구 동기 및 목표

• 명시적인 모델 구조나 전체 상태 측정이 필요하지 않은 비선형 시스템을 위한 데이터 기반 방법의 부족을 해결한다.
• 원래 선형 정수계 시스템에 대해 설계된 Willems의 기본 렘마의 적용 범위를 재생 커널 힐버트 공간에서의 함수해석을 통해 비선형 동역학으로 확장한다.
• 측정된 궤적을 사용하여 비선형 시스템의 데이터 기반 예측 제어 및 시스템 응답 예측을 가능하게 한다.
• 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간에서 커널화된 선형 동역학의 이론적 기반을 제공하여 존재성과 수치적 실현 가능성을 보장한다.
• 비선형 동역학을 재생 커널 공간에서 선형 함수형으로 공식화함으로써 행동계 이론과 Koopman 연산자 이론을 연결한다.

제안 방법

• 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간에서 평가 함수형에 작용하는 선형 연산자로 비선형 시스템 동역학을 모델링한다.
• 입력 및 출력 궤적을 $H_u^*$, $H_y^*$, $H_x^*$와 같은 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간 내 평가 함수형의 시퀀스로 표현한다.
• 스택된 평가 함수형에서 구성된 하 Hankel 행렬을 사용하여 시스템 궤적을 포착하고, Willems의 기본 렘마의 커널화된 형태를 적용한다.
• 시스템을 쌍대 공간에서의 선형 동적 시스템으로 공식화한다: $f_{i+1} = \mathcal{A}f_i + \mathcal{B}E_{u_i}$, $E_{y_i} = \mathcal{C}f_i + \mathcal{D}E_{u_i}$, 여기서 $f_i \in H_x^*$.
• Riesz 표현 정리를 활용하여 유계 평가 함수형을 보장하고, 입력 및 출력 공간에 대한 커널 함수 $k_u(\cdot,\cdot)$, $k_y(\cdot,\cdot)$를 정의한다.
• 재생 커널 힐버트 공간 프레임워크 내에서 선형 연산자 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$의 존재성과 성질을 분석함으로써 수치적 실현 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능 해석적 프레임워크를 통해 Willems의 기본 렘마를 비선형 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비선형 동역학을 재생 커널 공간의 쌍대 공간에서 선형 함수형으로 어떻게 표현할 수 있는가? 이를 통해 데이터 기반 제어를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간에서 커널화된 선형 동역학의 존재성과 수치적 타당성을 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 커널화된 공식화는 비선형 시스템에 대해 얼마나 정확한 예측 및 예측 제어를 지원할 수 있는가?
• RQ5 기존의 명시적인 모델 구조나 전체 상태 지식이 필요한 데이터 기반 접근법과 비교해 볼 때, 제안된 방법은 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 궤적을 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간에 통합함으로써 비선형 시스템 동역학의 커널화된 특성화를 수립한다.
• 지속적인 자극 조건 하에서 평가 함수형의 하 Hankel 행렬의 열공간이 모든 가능한 $L$-단계 궤적을 포함함을 증명함으로써, Willems의 기본 렘마를 비선형 시스템으로 확장한다.
• 명시적인 시스템 모델 지식이나 전체 상태 측정이 필요 없이 데이터 기반 예측 제어 및 시스템 응답 예측을 가능하게 한다.
• 이론적 분석을 통해 재생 커널 힐버트 공간의 쌍대 공간 내에서 유계 선형 연산자 $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$의 존재성을 확인하여 수학적 일관성을 보장한다.
• 커널 선택의 역할과 무한차원 함수형의 유한차원 근사화와 같은 수치적 구현 고려사항을 논의한다.
• 추가 증명과 예제를 포함한 확장된 버전은 arXiv(arXiv:2102.06553)에서 이용 가능하다.